Consultas de pruebas anteriores

Hola, qué tal?

Me parece que hay un detalle en las cuentas: la derivada tercera quedaría con el denominador elevado al cuadrado. De todos modos al evaluar en 0 da 1 también, así que no afecta para el polinomio de Taylor.

El límite del final es 0 porque lo de arriba te queda exactamente 0. La indeterminación 0/0 es cuando lo de arriba y lo de abajo tienden a 0, pero si lo de arriba es exáctamente 0, el límite automáticamente da 0. Igual a mi me gusta más la siguiente forma de verlo:

Lo que hace que el límite de 0 al final es el resto de Taylor, es eso lo que falta.

Por definición de resto, lo que se cumple es $f(x)=P_3(f,0)(x)+r_3(x)$, donde el resto tiene la propiedad: $\lim_{x\to0}\frac{r_3(x)}{x^3}=0$ (aparece en el teorema)

Por lo tanto, la cuenta del final es:

$\lim_{x\to0}\frac{x-x^2/2+x^3/6+r_3(x)-x-ax^2-bx^3}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{r_3(x)}{x^3}=0$

Saludos