Buen día, tengo una duda sobre este ejercicio:
Supongo que sería más conveniente aplicar Taylor para poder levantar la indeterminación y a su vez hallar lo que se me pide, en vez de usar L'Hopital.
Lo que no comprendo es cómo hacer el Taylor de ln(sin(x)+1) porque creo que es una compuesta.
Además, supongo que el grado del numerador tiene que ser > 3 (grado del denominador) para que el límite en cuestión valga cero, aplicaría Taylor de orden mayor o igual a 3 no?
Hola, qué tal?
Me parece que hay un detalle en las cuentas: la derivada tercera quedaría con el denominador elevado al cuadrado. De todos modos al evaluar en 0 da 1 también, así que no afecta para el polinomio de Taylor.
El límite del final es 0 porque lo de arriba te queda exactamente 0. La indeterminación 0/0 es cuando lo de arriba y lo de abajo tienden a 0, pero si lo de arriba es exáctamente 0, el límite automáticamente da 0. Igual a mi me gusta más la siguiente forma de verlo:
Lo que hace que el límite de 0 al final es el resto de Taylor, es eso lo que falta.
Por definición de resto, lo que se cumple es 
, donde el resto tiene la propiedad: 
(aparece en el teorema)
Por lo tanto, la cuenta del final es:
Saludos