Dudas teórico

Dudas teórico

de Valentina Goldaracena Martinez -
Número de respuestas: 2

Buenas tardes! tenía las suguientes dudas que se me generaron repasando y quiero confirmar bien. 

1)No tenemos teorema espectral para matrices ortogonales pero igualmente puede pasar en casos particulares que se pueda diagonalizar en bon, verdad?

2) Sabemos por el teorema espectral que T unitaria/autoadjunta diagonaliza en bon, pero puede diagonalizar en otra base? si sí, entonces esa forma diagonal es la misma, no?

3) De teórico tenemos varios corolarios/teoremas que hacen referencia a matrices, por ejemplo: A real simétrica entonces las raices del polinomio característico son reales, A real simétrica entonces existe P invertible/ D=PAP-1, etc.
Ayer recordamos en práctico que por ejemplo en este último, el teorema espectral para matrices, la matriz P unitaria tiene que estar definida en bases ortonormales, o sea queda P=c(Id)b donde c y b son bon.
A partir de esto me surgió la duda de si siempre que se hacen referencia a las matrices A simétrica, A hermítica, también tienen que estar definidas si o si en bases ortonormales.

En respuesta a Valentina Goldaracena Martinez

Re: Dudas teórico

de Juan Piccini -

Hola Valentina.

1) En efecto, no hay teorema espectral para matrices ortogonales porque el polinomio característico puede tener raíces complejas que no serían valores propios.

Puedes ver el ejemplo 9) de las notas que están en EVA.

En  caso  que la matriz ortogonal fuese diagonalizable, la puedes pensar como matriz asociada a un operador T:C^n\rightarrow C^n , donde el E.V. (C^n,C,+,.) tiene el producto interno habitual.

Entonces dicha matriz también es unitaria y por el teorema espectral para operadores unitarios la matriz P de semejanza es unitaria (sus columnas son base ortonormal de C^n ).

2) Puede diagonalizar en otra base, para visualizarlo imagina que existen subespacios propios de dimensión 2 o mayor, entonces cualquier base de dicho subespacio (sea o no ortonormal ) sirve para armar la base de vectores propios.

La forma diagonal siempre es la misma (asumiendo que los valores propios siempre se ordenan igual), lo que cambia es la matriz P que la hace semejante a la matriz asociada que tengas.

3) No necesariamente, una matriz existe ya sea que la asociemos a una T.L. o no, de hecho en GAL 1 vieron matrices antes de ver E.V. y   T.L.

Los teoremas que mencionas hacen uso de que, dada la matriz, se la puede pensar como asociada a una T.L. en bases ortonormales, en forma similar a lo que dije para 1), etc.

Esto es, dada una matriz M p.ej. simétrica, puedo encontrar un operador lineal que tiene a M como su matriz asociada en una cierta base, y a partir de ello hacer afirmaciones sobre M, pero la definición de matriz simétrica es anterior a la teoria de E.V. y T.L.

Saludos

J.