Hola Nicolás.
Este ejercicio tiene ciertas similitudes con el te comenté en tu anterior pregunta (me refiero a que se busca un máximo absoluto y a veces no es quien anule la derivada).
En este caso la función de verosimilitud te queda: $$L(\theta)=(1/2)^n$$ cuando $$\theta-1 \leq x_1,x_2,...,x_n \leq \theta +1$$ y $$L(\theta)=0$$ en otro caso.
Como tenemos que ver $$L$$ como función de $$\theta$$ la condición $$\theta-1 \leq x_1,x_2,...,x_n \leq \theta +1$$ conviene escribirla como $$ x_1-1,x_2-1,...,x_n-1\leq \theta \leq x_1+1,x_2,+1...,x_n +1$$ lo que equivale a $$ x_n^*-1\leq \theta \leq x_1^* +1$$.
Entonces teneindo en cuenta que $$L$$ vale o bien $$(1/2)^n$$ o bien 0, ¿para qué valor (o valores de $$\theta$$ se maximiza la función $$L$$? Para todos aquellos que se encuentran entre $$ x_n^*-1$$ y $$ \leq x_1^* +1$$.
Si no cierra algo avisás.
Saludos, Juan.