GAL2-1S: Vof segundo parcial 2017

Buenas, quería consultar por qué el 1 sería verdadero y el 5 falso.

Re: Vof segundo parcial 2017

de Juan Piccini - lunes, 19 de junio de 2023, 18:29

Hola Santiago.
En 5), como T es unitario tenemos que

$T^{-1}=T^*$ , y como T es autoadjunto tenemos

$T=T^*$ , de donde

$T=T^{-1}$ y por tanto

$T^2=Id$ .

Esto no implica que T=Id, como contrajemplo considera la matriz 2 x 2 cuya primera columna es (-1,0) y la segunda columna es (0,-1).

Se cumple que

$T^2=Id$ pero

$T\neq Id$ .

En 1), al ser un EV sobre los complejos, si asumimos dimensión finita, todas las raíces del polinomio característico serán valores propios.

Recuerda que si

$T(v)=\lambda v$ entonces

$T^{2017}(v)=\lambda^{2017}v$

Como

$T^*=T^{2017},\; T^* \circ T=T \circ T^{2016} \circ T=T \circ T^{2017}=T \circ T^*$ .

Si trabajamos en una base ortonormal B y llamamos M a la matriz asociada a T, tendremos que la matriz asociada a

$T^*$ es

$\overline{M^t}$ .

De la igualdad

$T^* \circ T=T \circ T^*$ tenemos

$\overline{M^t}.M=M.\overline{M^t}$ .

Llamemos

$A=\overline{M^t}.M$ , entonces

$\overline{A^t}=\overline{(\overline{M^t}.M)^t}=\overline{M^t.\overline{M^t}^t}=\overline{M^t} .\overline{\overline{M^t}}^t=\overline{M^t}.M$ (hemos usado que conjugar y transponer conmutan y que conjugar dos veces devuelve la misma matriz, así como transponer dos veces, que el conjugado de un producto es el producto de los conjugados y que la transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas en orden inverso).

Entonces la matriz A es hermítica y por tanto el operador

$T^* \circ T=T^{2018}$ es diagonalizable, y por tanto también lo es el operador

$T$ .

Saludos

Re: Vof segundo parcial 2017

de Santiago Nicolas Lombardi Luzardo - lunes, 19 de junio de 2023, 22:05

Gracias! Pero no termino de entender por qué aunque T es igual a T inversa no se puede decir que T es la identidad (pensándolo con matrices asociadas), y por que T a la 2 sí lo es