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de Nataly Melanie Ruber Maimo -
Número de respuestas: 4

Hola, también tenía dudas con este ejercicio. En principio lo que hice fue plantear la esperanza E(X), la cual al desarrollar la sumatoria me dio 1*P(X=1) + -1*P(X=-1) + 0*P(X=0) = 0 entonces lo que hice fue tratar de hallar E(X^2), para eso calculé Var(X) lo cual me dio 1*P(X=1) + (-1)^2 * P(X=-1) + 0 *P(X=0) = 2a, entonces E(X^2)=Var(X)-E(X)^2=2a

Luego de eso planteé

\( M_{2}=2a \)

\( \hat{M_{2}}=2\hat{a} \)

\( \hat{M_{2}}/2 =\hat{a} \)

luego de eso, \( \hat{M_{2}}=\bar{X_{3}^{2}}=(1/3) \sum{Xi^{2}} \) y eso da 2/3, entonces me daría que \( \hat{a}=1/3 \)

pero creo que está mal razonado ya que me da un número y no una VA. Creo que llegué al valor de a en vez de la estimación, me está confundiendo un poco este ejercicio

gracias
En respuesta a Nataly Melanie Ruber Maimo

Re: 4

de Usuario eliminado -
Hola,

Aquí tu razonamiento y desarrollo del método de los momentos venía bien, pero el ejercicio termina cuando vos decís que \( \hat{a} = \hat{M_2}/2 \) . \( \hat{M_2} \) es el segundo momento muestral, que se puede calcular cuando \( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 \) el día que te den una muestra iid para utilizar. Notar que aquí \( n \) no tiene porque valer 3, sino que puede ser una muestra de cualquier tamaño, que de hecho mientras más grande sea mejor.

Creo que te confundiste al intentar de seguir resolviendo, y sustituiste \( X_i \) con los valores del recorrido de la variable \( R_X \). Pero son cosas distintas: el primero es una muestra tomada desde la realización de un experimento, y el segundo es el conjunto de valores posibles que puede tomar la variable.

Avisame si esto no aclara tu duda.

Saludos!
Rodrigo
En respuesta a Usuario eliminado

Re: 4

de Nataly Melanie Ruber Maimo -

ahhh yo pensé que la muestra era de n=3, pero claro no tiene sentido ahora que lo pienso, no te dice cuántas muestras hay solo te dice info de la primer muestra

entonces \( \hat{a}= \frac{\bar{X_{n}^{2}}}{2} \) y como había llegado a que E(X2)=2a, sé que 

\( a= \frac{E(X^2)}{2} \)

entonces es consistente ya que \( \bar{X_{n}^2} \) converge casi seguro a E(X2) 

Creo que ahora lo capté más, el X1 representa los x1,x2,xn que se tomaron la primer vez en el experimento o lo que sea, y el ejercicio me dice las probabilidades de que X1 tome cierto valor, o sea por ejemplo que la probabilidad de que en el experimento encuentre el valor 1 y el -1 en la primera vez que se lo hace es 'a', o sea X1 puede ser {1,4,6,84, etc} pero sé que la probabilidad de que me salga el 1 por ejemplo es 'a'

es así?
En respuesta a Nataly Melanie Ruber Maimo

Re: 4

de Usuario eliminado -
Hola Nataly,

No estoy seguro que hayas entendido bien la notación, así que aclaro:

Empecemos primero por decir que tenés una variable aleatoria \( X \sim f(a) \), siendo \( f(a) \) la función de probabilidad puntual que te indican ahí: vale \( a \) en \( x=1,-1 \) y vale \( 1-2a \) en \( x=0 \).

Luego una muestra aleatoria iid \( X_1, ..., X_n \) de la variable \( X \) es tomar a la variable y "realizarla" \( n \) veces, de manera independiente entre sí. Este es tu experimento, y es el resultado que podés "ver" de tu variable. Querés a partir de estos números hacer un cálculo aproximado de cuánto vale el parámetro desconocido a estimar, \( a \).

Pongamos un ejemplo con números concretos:

\( a=0.25 \), entonces la fpp de \( X \) es:

\( f(-1) = 0.25, \quad f(0) = 0.5, \quad f(1) = 0.25 \), y vale 0 sino.

Tu realizás esta variable \( n=7 \) veces. Es decir, si esta variable representa el resultado de tirar un dado de 3 caras, tiras 7 veces el dado de manera independiente. Te dá por ejemplo, el resultado:

\( X_1 = -1,\, X_2 = 0,\, X_3 = 0,\, X_4 = 0,\, X_5 = -1, X_6 = 1, X_7 = 0 \)

Tu no sabés cuanto vale \( a \), y querés estimarlo a partir de esta tabla de números. El método de los momentos te dice que con el segundo momento muestral podés estimar a \( a \). Entonces:

\( \hat{a} = \hat{M_2}/2 = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 =  \frac{1}{14} \left( (-1)^2 + 0^2 + 0^2 +0^2 + (-1)^2 + 1^2 + 0^2 + \right) = \frac{3}{14} = 0.214 \).

Tu entonces dirás que estimás que \( \hat{a} = 0.214 \), y que es tu estimador de los momentos de \( a \) (que en el fondo vale \( 0.25 \)).

Avisame si con esto no se aclara la situación.

Saludos!
Rodrigo