Primer semestre 2019

Primer semestre 2019

de Alfonso Caprile Reyes -
Número de respuestas: 1

Buenas tengo una duda con el siguiente ejercicio:


No entiendo como f es continua en 0, ya que la funcion es cuando x es un  irracional, no debería de ser 0 cuando es un racional no? no le encuentro la lógica ni lo puedo visualizar ya que la funcion está formada por infinitos puntos. Tampoco entiendo como es continua en 1, y que el conjunto imagen no sea R+ me imagino que es por qué la función está definida en 0 también, yo considero 0 como el neutro entonces no pertenece a R+ no?  

En respuesta a Alfonso Caprile Reyes

Re: Primer semestre 2019

de Bruno Yemini -
Hola.

Para ver la continuidad en 0 basta observar  0 \leq f(x) \leq x^2 para todo x. Haciendo x tender a cero por el teorema del sánguche deduces \lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0).

La función no es continua en 1 dado que tomando \varepsilon = 1/2, para cualquier \delta >0 el intervalo (1-\delta, 1 + \delta) contiene un irracional x_0. Entonces |f(x_0) - f(1)| = |0 - 1| = 1 \geq \varepsilon, contradiciendo la definición de continuidad en 1.

Imaginás bien lo último.

Cualquier cosa a las órdenes, saludos.