Consultas de pruebas anteriores

Buenas

Primero que nada la función que se pide integrar es parte entera de $4x^{2}$, lo que en nuestro curso notamos como $floor 4x^{2}\rfloor$. Lo aclaro por que nosotros estuvimos usando la notación [] para la distancia al entero mas cercano.

Para entender el gráfico de la función $f$, hay que entenderlo como una composición (continuo con la explicación luego del gráfico)

Como puedes ver la función $f$ es escalonada, por lo que para calcular la integral tendrás que averiguar los puntos marcados sobre el eje $x$

Veamos primero los $x \geq 0$ (la parte negativa es análoga)

Si $f(x) = k$ quiere decir que $g(x) = 4x^{2}$ verifica $k \leq g(x) < k+1$ o lo que es lo mismo $x \in g^{-1}([k,k+1))$.

Calcular $g^{-1}([k,k+1))$ puede ser difícil en general, pero en este caso no. Ya que $g$ es monótona creciente (en $x \geq 0$) y tiene como imagen $\mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$

En esta situación se cumple que $g^{-1}([k,k+1)) = [g^{-1}(k),g^{-1}(k+1))$, es decir que debes calcular la preimágen de los naturales. Puedes interpretarlo en el grafico que como g "va creciendo" lo que tienes que detectar es cuando $g$ pasa por un natural, (corta una recta de la forma $y = k$).

Vamos con los primeros casos $g^{-1}(0) = 0$, $g^{1}(1) = \frac{1}{2}$ (esto ultimo se deduce de resolver $1 = 4x^2$ con $x \geq 0$).

Te falta entonces calcular $g^{-1}(2) (2 = 4x^{2})$ y $g^{-1}(3) (3 = 4x^2)$

Intenta terminar el ejercicio desde aquí y cualquier cosa vuelve a escribir

Saludos