Consultas de pruebas anteriores

Buenas

Primero utilizando la propiedad del limite del producto (Proposición 31 de las notas de Límite- Ejercicio 4.2-4.e) puedes ver que

$\displaystyle 0 = \lim_{x \to 0} x^{2} \times \lim_{x \to 0} \left( \frac{f(x)}{x^{2}}\right)  = \lim_{x \to 0} \left( x^{2}\times  \frac{f(x)}{x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0} f(x)$

La idea ahora es usar la propiedad 30 de las notas "acotado por 0".

La función $g^{2}$ esta acotada en un entorno de 0 pues tiene limite finito (Proposición 29 de las notas de Límite) De donde se deduce que $g$ también esta acotada.

Luego como $g$ esta acotada en un entorno de 0 y $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 0$ se tiene que $\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)g(x) = 0$

Saludos