Foro práctico 3

Vos $log(z)$ sabés que es continua para todo $z \neq 0$ en todo $\mathbb C$ menos en una semirrecta con extremo en el origen. Te piden si se puede definir $log(1-z)$ continuo en $D_{1}(0)$, ahora haciendo el cambio de variable $1-z = u$ la pregunta se transforma en si se puede definir $log(u)$ continua en $D_{1}(1)$ y es fácil ver que definiendo $log_{(-\pi,\pi]}(u)$ te queda continuo en $D_{1}(1)$ y por ende se puede definir $log(1-z)$ continuo en $D_{1}(0)$.

Espero no estar errado en el razonamiento, cualquier cosa Marcos lo aclarará.

Un saludo.

Hola, la idea que dijo Denis para solucionarlo está buena. El problema que estas planteando se puede solucionar! Probaste que el radio de convergencia es 1, entonces tomate $r$ en ese caso por Lema de Weierstrass podes ver que en $D_{r}(0)$ la serie converge uniformemente. Ahora tomate $z\in D_{1}(0)$, como el módulo de z es menor a 1 entonces podes tomar r tal que $|z|$<r<1, ahí podes aplicar convergencia uniforme y con eso probas que la serie es continua en z. Como esta idea lo podes usar para cualquier z con módulo menor que 1 entonces podes concluír que es continua en todo el disco unitario.