Hola buenas, tenía una duda referente al ejercicio 3, cuando uno iguala la serie presentada en el práctico con 
, en los reales para poder hacer esto se debía cumplir que la serie original fuera absolutamente convergente ¿En los complejos pasa lo mismo? ¿la parte real e imaginaria de la serie original deben ser absolutamente convergentes para poder realizar ese paso?
Buenas, yo también tenia una consulta sobre este ejercicio. A mi la serie de potencia me quedo escrita:
![\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n-[1+(-1)^{n}]}}z^{n}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/4b03a2889627e35a76c44dbd7344d0ee.png "\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n-[1+(-1)^{n}]}}z^{n}")
donde el la sucesión ![a_{n} = \frac{1}{2^{n-[1+(-1)^{n}]}}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/c708fc157e32ad16c05c3dabaeb709f1.png "a_{n} = \frac{1}{2^{n-[1+(-1)^{n}]}}")
que es una sucesión oscilante que tiene tiene dos subsucesiones convergentes.
El radio de convergencia se definió como:
![R= [\limsup_{n \to \infty} |a_{n}|^{\frac{1}{n}}]^{-1}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/5692af7749f5321eb17144078c225899.png "R= [\limsup_{n \to \infty} |a_{n}|^{\frac{1}{n}}]^{-1}")
En este caso debería tomarme la subsucesion cuando n es un numero par y estudiar el limite de esa, o como seria?
donde el la sucesión que es una sucesión oscilante que tiene tiene dos subsucesiones convergentes.El radio de convergencia se definió como:
En este caso debería tomarme la subsucesion cuando n es un numero par y estudiar el limite de esa, o como seria?
Hola Nicolas,
La fórmula que hallaste está correcta, una forma de solucionar lo que decis es la siguiente. Fijate que si separas tu serie en pares e impares (escribiendo a n=2k o a n=2k-1) entonces obtenes lo que halló Denis. De ahí podes hallar el radio de convergencia de esas series y tomarte el mínimo, eso te soluciona el problema.
Otra forma para solucionar esto es hallar ese limsup, fijate que la definición pide límite superior y no límite, como en este caso podes descomponer tu sucesión en dos sucesiones convergentes (estudiar por un lado los pares y por otro los impares), podes ver cual de los dos límites te da más grande y eso por definición será el límite superior, tomando R igual al inverso de ese limsup concluís.
Espero que no este entreverado, cualquier cosa volvé a escribir y conversamos.
Saludos.
La fórmula que hallaste está correcta, una forma de solucionar lo que decis es la siguiente. Fijate que si separas tu serie en pares e impares (escribiendo a n=2k o a n=2k-1) entonces obtenes lo que halló Denis. De ahí podes hallar el radio de convergencia de esas series y tomarte el mínimo, eso te soluciona el problema.
Otra forma para solucionar esto es hallar ese limsup, fijate que la definición pide límite superior y no límite, como en este caso podes descomponer tu sucesión en dos sucesiones convergentes (estudiar por un lado los pares y por otro los impares), podes ver cual de los dos límites te da más grande y eso por definición será el límite superior, tomando R igual al inverso de ese limsup concluís.
Espero que no este entreverado, cualquier cosa volvé a escribir y conversamos.
Saludos.
Quedo claro si, muchas gracias.
Hola,
La fórmula que hallaste está correcta, la forma de ver que eso efectivamente converge es justamente hallando el radio de convergencia! Para ver esto último podes estudiar el radio de convergencia de cada serie por separado y quedarte con el más chico, con eso aseguras que para cualquier z complejo con módulo menor a ese número ambas series convergan.
Saludos.
La fórmula que hallaste está correcta, la forma de ver que eso efectivamente converge es justamente hallando el radio de convergencia! Para ver esto último podes estudiar el radio de convergencia de cada serie por separado y quedarte con el más chico, con eso aseguras que para cualquier z complejo con módulo menor a ese número ambas series convergan.
Saludos.