Foro de dudas del práctico 1

Hola,
La idea de lo que hiciste está bien. Tan solo recordá que en el ejercicio, la matriz de la que partís es $_{\mathcal{B}'}(T)_{\mathcal{B}}$, donde $\mathcal{B} = \{v_1,v_2,v_3\}$ y $\mathcal{B}' = \{w_1,w_2,w_3,w_4\}$ son bases que pueden no ser canónicas. Eso quiere decir que el sistema que resolviste, lo que te da son las coordenadas de la imagen de $T$ en la base $\mathcal{B}'$. Para obtener la base de $\text{Im}(T)$, tenes que deshacer las coordenadas: por ejemplo, el vector $(1,0,0,2)$ que obtuviste, te da el vector $1w_1 + 2w_4$, que ese es uno que efectivamente está en la $\text{Im}(T)$.
Sobre la parte 3, lo que te piden son los vecores $v\in \mathbb{R}^3$ tales que $T(v) = 3w_1 -3w_3 -w_4$. Podemos escribir a $v$ en coordenadas en a base $\mathcal{B}$, es decir, escribimos $coord_{\mathcal{B}}(v) = (\alpha,\beta,\gamma)$. Además, $coord_{\mathcal{B}'}(3w_1 -3w_3 -w_4) = (3,0,-3,-1)$. Por lo tanto, para hallar $(\alpha,\beta,\gamma)$, podemos resolver el sistema $_{\mathcal{B'}}(T)_{\mathcal{B}} (\alpha,\beta,\gamma)^t = (3,0,-3,-1)^t$. Una vez obtenemos $(\alpha,\beta,\gamma)$, podes obtener $v$, dado que lo que hallaste son sus coordenadas en la base $\mathcal{B}$.
Espero que eso aclare un poco.
Saludos!