Foro de Ejercicios fuera de los Prácticos

Buenas!

La forma más fácil es resolver la ecuación que planteaste en polares, la otra es bastante más complicada, esa quedaría:

$A(D) = \int_0 ^{ \frac{\pi}{4} } \int_2 ^{ \sqrt{ \frac{12}{ \cos^2(\theta) + 3 \sin ^2 (\theta )} } } \rho \phantom{a} d\rho \phantom{a} d\theta = \int_0 ^{ \frac{\pi}{4} } \frac{\rho ^2}{2} \big|_2  ^{ \sqrt{ \frac{12}{ \cos^2(\theta) + 3 \sin ^2 (\theta )} } } d\theta = \int_0 ^{ \frac{\pi}{4} } \frac{6}{ \cos^2(\theta) + 3 \sin ^2 (\theta )}  - 2 \phantom{a} d\theta$

Ahora la parte complicada es resolver el término de la izquierda, para eso sacamos de factor común $\cos^2(\theta)$:

$A(D) = - \frac{\pi}{2} + \int_0 ^{ \frac{\pi}{4} } \frac{6}{ (1 + 3 \tan ^2 (\theta ) )} \frac{1}{\cos^2(\theta)} d\theta$

Ahora podemos aplicar un cambio de variable: $u=\tan(\theta)$ y $du = \frac{1}{\cos^2(\theta)} d\theta$ por lo que la integral nos queda: 

$A(D) = - \frac{\pi}{2} + \int_{\tan(0)} ^{ \tan(\frac{\pi}{4}) } \frac{6}{1+3u^2}du$

Ahora aplicamos otro cambio de variable para tener la primitiva de $\arctan{x}$ con $x=\sqrt{3} u$ y por lo tanto $du=\sqrt{3}dx$:

$A(D) = - \frac{\pi}{2} + \frac{6}{\sqrt{3}}  \int_{\sqrt{3} \tan(0)} ^{ \sqrt{3} \tan(\frac{\pi}{4}) } \frac{1}{1+x^2} du = - \frac{\pi}{2} + \frac{6}{\sqrt{3}} \arctan{x} \big|_0 ^{ \sqrt{3} } = - \frac{\pi}{2} + 2\sqrt{3} \big(  \arctan{\sqrt{3}} - \arctan{0} \big)$

Usando los datos que nos da la letra llegamos a que el resultado es:

$A(D) = - \frac{\pi}{2}  + 2\sqrt{3} \frac{\pi}{3} = - \frac{\pi}{2}  + 2 \frac{\pi}{\sqrt{3}} = \pi \big( \frac{4-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \big)$

Saludos!

Florencia