CDIVV-2S: Ejercicio 3Segundo Parcial 2018 2do semestre

Buenas, me podrían dar una mano con este ejercicio? no estoy logrando hacerlo, gracias

Re: Ejercicio 3Segundo Parcial 2018 2do semestre

de Bernardo Marenco - miércoles, 17 de noviembre de 2021, 11:03

Hola. Te recomiendo estudiar las derivadas parciales y las direccionales usando la definición, es decir, planteando los cocientes incrementales en $(0,0)$ . Por ejemplo, la derivada parcial respecto a $x$ es:

$\displaystyle f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} h\sin \left(\frac{1}{h}\right) = 0$

Si hacés lo mismo con la derivada parcial respecto a $y$ te va a dar 1 y si planteás la derivada direccional respecto a una dirección cualquiera $(v_1,v_2)$ te da 0. Entonces,la función no puede ser diferenciable, porque si lo fuera la derivada direccional respecto $(v_1,v_2)$ debería darte $f_x(0,0)v_1 + f_y(0,0)v_2 = v_2$ .

Saludos

Re: Ejercicio 3Segundo Parcial 2018 2do semestre

de Rodrigo Ignacio Garcia Lopez - miércoles, 17 de noviembre de 2021, 13:50

Hola buenas, dos consultas. Entiendo que no es diferenciable, pero porque la respuesta es la opción C ? ("existen todas sus derivadas direccionales en (0,0)"), si también existen las derivadas parciales según X y según Y en (0,0) y valen 0 y 1 respectivamente(opción A).
Acá entra la otra consulta, no entendí tu afirmación final que dice "...porque si lo fuera la derivada direccional respecto (v1,v2) debería darte fx(0,0).v1+fy(0,0).v2 = v2" ya que si la derivada según X, es 0 y la derivada según Y, es 1, eso te queda 0.v1+1.v2=v2 que es v2=v2 y si se cumpliría la diferenciabilidad según tu ultimo enunciado, si es que no lo entendí mal.
Desde ya muchas gracias
Saludos
Rodrigo

Re: Ejercicio 3Segundo Parcial 2018 2do semestre

de Bernardo Marenco - miércoles, 17 de noviembre de 2021, 14:04

Hola. La afirmación (A) dice "

$f$ no es diferenciable en

$(0,0)$ , pero existen la derivadas parciales en un entorno de

$(0,0)$ ". Es decir, está diciendo que las derivadas parciales existen para todos los puntos

$(x,y)$ en un entorno de

$(0,0)$ (y no solo en ese punto, como dice la afirmación (C)). Para ver que eso no es cierto, podés ver que en cualquier punto de la forma

$(0,y_0)$ con

$y_0\neq 0$ (es decir, cualquier punto en el eje

$y$ que no sea el origen) la derivada parcial según

$x$ no existe. Para ver eso vas a tener que plantear el cociente incremental para un punto de la forma

$(0,y_0)$ .

Sobre la segunda pregunta: capaz que no quedó claro cómo escribí el resultado. El teorema que estoy usando dice que si

$f$ es diferenciable en

$(x_0,y_0)$ entonces la derivada direccional respecto a una dirección

$(v_1,v_2)$ es

$f_x(x_0,y_0)v_1 + f_y(x_0,y_0)v_2$ . En este caso, como me interesa lo que pasa en

$(0,0)$ , lo que me dice ese teorema es que si fuese diferenciable en ese punto la derivada direccional debería dar

$f_x(0,0)v_1 + f_y(0,0)v_2$ . Como para esta

$f$ en particular

$f_x(0,0)=0$ y

$f_y(0,0)=1$ , esa cuenta da

$v_2$ (eso es lo que puse a la derecha del igual, no quiere decir que para todas las funciones diferenciables esa cuenta tenga que dar

$v_2$ ). Sin embargo, como hice la cuenta a mano con el cociente incremental y la derivada direccional no me dio

$v_2$ , puedo concluir que la función no puede ser diferenciable en el

$(0,0)$ .

Saludos

Re: Ejercicio 3Segundo Parcial 2018 2do semestre

de Agustín Arístides Almeida Ahlers - miércoles, 23 de noviembre de 2022, 17:19

Buenas,
No logro entender porqué no existe la derivada parcial respecto a x en los puntos de la forma (0,yo).
Tampoco entendí porqué la afirmación C implica que existen las derivadas parciales para todos los puntos (x,y) si en realidad la afirmación dice que existen para "un" entorno de (0,0).
Saludos. ej 3

Re: Ejercicio 3Segundo Parcial 2018 2do semestre

de Bernardo Marenco - jueves, 24 de noviembre de 2022, 14:16

Hola. La derivada parcial según $x$ no existe en esos puntos porque ese último límite que planteaste da $\infty$ si $y_0\neq 0$ .

Sobre la otra pregunta: la afirmación (C) dice que existen todas las derivadas parciales en $(0,0)$ . La (A) es la que habla de la existencia de las derivadas parciales en un entorno del $(0,0)$ . Cuando dice eso, quiere decir que existe UN entorno del $(0,0)$ tal que las derivadas parciales existen en todo punto de ese entorno. Formalmente, dice que existe un radio $r>0$ tal que para todo $(x_0,y_0)$ en la bola de centro $(0,0)$ y radio $r$ existen las derivadas parciales $\frac{\partial f}{\partial x} (x_0,y_0)$ y $\frac{\partial f}{\partial y} (x_0,y_0)$ .

Saludos