Foro de Ejercicios fuera de los Prácticos

Buenas!

Para poder ver el dominio podemos tratar cada desigualdad por separado, es decir: $x \leq x^2 + y^2$ y $x^2 + y^2 \leq 1$

En el segundo caso tenemos el interior de un círculo de radio $1$ mientras que en el primero también tenemos un círculo pero para verlo tenemos que hacer un par de cuentas:

$x \leq x^2 + y^2 \implies 0 \leq  x^2 - x + y^2 \implies 0 \leq  x^2 -2 \frac{1}{2} x + y^2  \\ \implies (\frac{1}{2})^2 \leq   x^2 -2 \frac{1}{2} x + (\frac{1}{2})^2 + y^2 \implies \frac{1}{4} \leq (x-\frac{1}{2})^2 +y^2$

Es decir, lo que buscamos es hacer aparecer binomios al cuadrado, ahora lo que tenemos es el exterior del círculo de centro $(\frac{1}{2},0)$ y radio $\frac{1}{2}$, es decir, con la desigualdad $x \leq x^2 + y^2 \leq 1$ tenemos la siguiente figura:

Además nos dicen $x\geq0$ e $y\geq0$ por lo que estaremos solo en el primer cuadrante.

Ahora para pasar a polares volvemos a ver las desigualdades:

$x\geq0$ e $y\geq0$ estas nos dan la información sobre $\theta$: $\theta \in [0,\frac{\pi}{2}]$

Como en polares $x=\rho \cos{\theta}$ e $y=\rho \sin{\theta}$ podemos sustituir este cambio de variable en $x \leq x^2 + y^2$ y $x^2 + y^2 \leq 1$ para ver entre qué extremos dejamos a $\rho$:

$x \leq x^2 + y^2 \implies \rho \cos{\theta} \leq \rho^2 \cos^2{\theta} + \rho^2 \sin^2{\theta} \implies \cos{\theta} \leq \rho$

$x^2 + y^2 \leq 1 \implies \rho^2 \leq 1 \implies \rho \leq 1$

Por lo tanto:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\cos{\theta}}^{1}\rho\cos{\theta} \phantom{a} \rho\sin{\theta} \phantom{a} \rho \phantom{a} d \rho d \theta$

Saludos!

Florencia