Parcial Julio 2022 Ej 10

Parcial Julio 2022 Ej 10

de Mathias Joaquin Escobar Ferrario -
Número de respuestas: 1

Buenas, se me complica sacar el dominio, más que nada en la primera desigualdad. Y después de eso como pasarlo con el cambio a polares.


En respuesta a Mathias Joaquin Escobar Ferrario

Re: Parcial Julio 2022 Ej 10

de Florencia Uslenghi -

Buenas!

Para poder ver el dominio podemos tratar cada desigualdad por separado, es decir: x \leq x^2 + y^2 y  x^2 + y^2 \leq 1

En el segundo caso tenemos el interior de un círculo de radio 1 mientras que en el primero también tenemos un círculo pero para verlo tenemos que hacer un par de cuentas:

 x \leq x^2 + y^2 \implies 0 \leq  x^2 - x + y^2 \implies 0 \leq  x^2 -2 \frac{1}{2} x + y^2  \\ \implies (\frac{1}{2})^2 \leq   x^2 -2 \frac{1}{2} x + (\frac{1}{2})^2 + y^2 \implies \frac{1}{4} \leq (x-\frac{1}{2})^2 +y^2

Es decir, lo que buscamos es hacer aparecer binomios al cuadrado, ahora lo que tenemos es el exterior del círculo de centro (\frac{1}{2},0) y radio \frac{1}{2}, es decir, con la desigualdad x \leq x^2 + y^2 \leq 1 tenemos la siguiente figura:


Además nos dicen x\geq0 e y\geq0 por lo que estaremos solo en el primer cuadrante.

Ahora para pasar a polares volvemos a ver las desigualdades:

x\geq0 e y\geq0 estas nos dan la información sobre \theta: \theta \in [0,\frac{\pi}{2}]

Como en polares x=\rho \cos{\theta} e y=\rho \sin{\theta} podemos sustituir este cambio de variable en x \leq x^2 + y^2 y  x^2 + y^2 \leq 1 para ver entre qué extremos dejamos a \rho:

x \leq x^2 + y^2 \implies \rho \cos{\theta} \leq \rho^2 \cos^2{\theta} + \rho^2 \sin^2{\theta} \implies \cos{\theta} \leq \rho

 x^2 + y^2 \leq 1 \implies \rho^2 \leq 1 \implies \rho \leq 1

Por lo tanto:

 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\cos{\theta}}^{1}\rho\cos{\theta} \phantom{a} \rho\sin{\theta} \phantom{a} \rho \phantom{a} d \rho d \theta

Saludos!

Florencia