Ejercicio 4e

Ejercicio 4e

de Mateo Molina Pereira -
Número de respuestas: 3
Buenas, en la solución de este ejercicio dice que en la región en la que y=1 y x≠0, solo existen derivadas direcc. según (x,0) con x perteneciente a reales. Entiendo de dónde sale este cálculo, pero ¿No aplicaría también para las y>1 por la manera en que está dada la función? (Pues la derivada parcial según y de la función seguirá siendo 0 con y>1).
Es decir ¿No aplica esta solución para la región de los y>1 además del y=1?
En respuesta a Mateo Molina Pereira

Re: Ejercicio 4e

de Florencia Uslenghi -
Buenas!
En la región y> la función vale f(x,y)=x^3 que posee derivadas direccionales en todo punto. Por las dudas lo probamos, nos fijamos un (x_0,y_0) cualquiera en \mathbb{R}^2 y v=(v_1,v_2) una dirección:
\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x_0+hv_1,y_0) - f(x_0,y_0+hv_2)}{h} =  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ (x_0+hv_1)^3 - x_o^3 }{h}
Desarrollando el numerador del límite obtenemos:
\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x} =  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ x_0^3 + 3x_0^2hv_1 + 3x_0(hv_1)^2 + (hv_1)^3 - x_0^3 }{h} =  \lim_{h \rightarrow 0} 3x_0^2v_1 + 3x_0v_1^2h + h^2v_1^3 = 3x_0^2v_1 
La derivada parcial depende del punto x_0 en el que me pare y de la componente v_1 del vector dirección, pero existe en todo punto.
Saludos!
Florencia
En respuesta a Florencia Uslenghi

Re: Ejercicio 4e

de Micaela Pissano De Leon -
Buenas, estaba leyendo este razonamiento y tengo una duda, haciendo este ejercicio me da lo mismo en este caso y en el caso en el que y=1 y x distinto de 0, por qué en la solución dice que depende de v1? Y no dice lo mismo en este caso de y mayor a 1.
Gracias