MD1-2S: Practico 6 ejercicio 5,b | FING

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Practico 6 ejercicio 5,b

Hola tengo una duda con el conjunto cociente ya que no se si el resto y el cociente tienen que estar en los enteros también o pueden pertenecer a los reales? porque por ejemplo si el cociente es 1/5 y el resto 0 me quedaría la descomposición del 1? yo lo hice para los enteros y me quedo todos los x tales que x²=5.q+r con q entero y r variando entre 0 y 4, y esto me forma 4 conjuntos pero el x seria hacer la raíz de 5.q+r y este numero puede no estar en los enteros entonces no se si esta bien los conjuntos que tome, alguna sugerencia? gracias

Re: Practico 6 ejercicio 5,b

de Agustin Tornaria Rodriguez - miércoles, 9 de noviembre de 2022, 12:09

Hola Pedro,

Cualquier número entero

$x$ se puede descomponer de manera única como

$x=5q + r$ donde el cociente

$q$ y el resto

$r$ son enteros con

$0 \leq r < 5$ .

Lo que podés hacer para resolver este ejercicio es fijarte que si

$x=5q + r$ entonces

$x^2 = (5q + r)^2 = 5q(5q + 2r) + r^2$ .

Como

$0 \leq r < 5$ tenés 5 restos posibles al dividir

$x$ entre 5:

$r \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ . Y por lo tanto

$r^2 \in \{0, 1, 4, 9, 16\}$ .

Ahora para encontrar las clases de equivalencia fijate según

$r^2$ cuáles son los posibles restos de dividir

$x^2$ entre 5. Por ejemplo: si

$r^2 = 9$ ,

$x^2 = 5q(5q + 2r) + 9 = 5q(5q + 2r) + 5 + 4 = 5q' + 4$ y por lo tanto tiene resto 4.

Saludos,

Agustín