3)g

3)g

de Pedro Manuel Carreras Salaberry -
Número de respuestas: 4

Hola tengo una duda, en las soluciones de este ejercicio está que el dominio de la  función no es todo R^2 pero no entiendo por qué ya que no presenta ningún problema de existencia cuál sería el argumento para restringir el dominio?

En respuesta a Pedro Manuel Carreras Salaberry

Re: 3)g

de Florencia Uslenghi -
Buenos días!
En este caso estábamos buscando el dominio de la función f(x,y)=x^{y^2} por lo que podemos hacer lo que sugiere la solución y reescribir la exponencial como: x^{y^2}=e^{log(x)y^2} Así podemos ver que no hay ninguna restricción para y, sin embargo log(x) sí nos impone condiciones ya que x se encuentra dentro del logaritmo y por lo tanto para que esté definido debe cumplirse x>0. De esta forma llegamos a que el dominio es todo el plano derecho: 
Dom(f)=\{ (x,y) \in \mathbb (R)^2 :  x>0 \}
Saludos!
Florencia
En respuesta a Florencia Uslenghi

Re: 3)g

de Pedro Manuel Carreras Salaberry -
Hola entiendo cómo queda el dominio una vez pasado a la forma e^b.log(x), pero en esta forma no podemos obtener el -1 y en la forma x^(y^2) si y mientras y=√(número impar) y a negativo nos devolvería un negativo siempre, entonces entiendo que los dominios de ambas funciones no son iguales no?
En respuesta a Pedro Manuel Carreras Salaberry

Re: 3)g

de Leandro Bentancur -
Hola Pedro,
Es una buena pregunta sí. Comenzemos tomando a \in \mathbb{R} negativo. Como vos decís no hay problema al definir a^n con n \in \mathbb Z, de hecho, podríamos llegar a definir a^{\frac{p}{q}} con \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} cuando q es impar, porque todo número real tienen una única raíz q-ésima real. El problema lo vamos a tener cuando queremos definir a^{\frac{1}{2}}, o de hecho, cuando queramos elevar a por cualquier racional cuyo denominador sea par. La solución es restringirnos a tomar los reales positivos en la base como comentó Florencia.
Hay otro encare donde sí podemos definir la función con x negativos, que es extendiendo la función a los complejos y ahí podemos elegir una semirrecta cualquiera desde el origen que quede fuera del dominio de definición, pero para esto es necesario conocimientos de un curso de análisis complejo.
Saludos,
Leandro