Parcial 2022 primer semestre Ej 9

Re: Parcial 2022 primer semestre Ej 9

de Bernardo Marenco -
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Hola. En esa parte de la solución se está mirando a qué es equivalente el integrando cuando  x\to 0. Fijate que cuando x tiende a 0, x+1 \to 1 y por lo tanto e^\frac{1}{x+1} \sim e. Para el denominador, se me ocurren dos caminos para verlo:

  1. Si llamamos u = x^2, entonces el denominador es u-\log(1+u), que como función de u es equivalente a u^2/2 (eso lo podés ver haciendo un Taylor de orden 2 a f(u) = u-\log(1+u) alrededor de u=0). Entonces, deshaciendo el cambio de variable tenemos que x^2-\log(1+x^2) \sim \frac{\left(x^2\right)^2}{2} = \frac{x^4}{2}. En la solución hay un error en el denominador: hay un 4 en vez de un 2 (elevan todo el x^2/2 al cuadrado). Igual una diferencia en esa constante no cambia la convergencia de la impropia.
  2. Podés llamar directamente f(x) = x^2 - \log(1+x^2) y hacer un Taylor de orden 4 de f en 0 para ver que x^2 - \log(1+x^2) \sim \frac{x^4}{2}
Saludos