Foro de Ejercicios fuera de los Prácticos

Hola. En esa parte de la solución se está mirando a qué es equivalente el integrando cuando $x\to 0$. Fijate que cuando $x$ tiende a $0$, $x+1 \to 1$ y por lo tanto $e^\frac{1}{x+1} \sim e$. Para el denominador, se me ocurren dos caminos para verlo:

1. Si llamamos $u = x^2$, entonces el denominador es $u-\log(1+u)$, que como función de $u$ es equivalente a $u^2/2$ (eso lo podés ver haciendo un Taylor de orden 2 a $f(u) = u-\log(1+u)$ alrededor de $u=0$). Entonces, deshaciendo el cambio de variable tenemos que $x^2-\log(1+x^2) \sim \frac{\left(x^2\right)^2}{2} = \frac{x^4}{2}$. En la solución hay un error en el denominador: hay un 4 en vez de un 2 (elevan todo el $x^2/2$ al cuadrado). Igual una diferencia en esa constante no cambia la convergencia de la impropia.
2. Podés llamar directamente $f(x) = x^2 - \log(1+x^2)$ y hacer un Taylor de orden 4 de $f$ en 0 para ver que $x^2 - \log(1+x^2) \sim \frac{x^4}{2}$