1er Parcial 2015

1er Parcial 2015

de Nicolas Grosso San Roman -
Número de respuestas: 3

Hola! Estaba tratando de resolver este ejercicio y pensaba que lo hacia bien hasta que vi la solucion. Concuerdo con todo lo de la solucion menos con las combinaciones con repeticion que menciona.

Para empezar, al leer las combinaciones con repeticion me hace pensar que entendi mal la letra. En un principio entendi que las letras son limitadas y solo tenemos que colocar la G,T,T,S,LL en 5 huecos, pero si hay combinaciones con repeticion da a pensar que las letras son ilimitadas, es decir, puedo poner GGGGG. Ahora, no entiendo muy bien el por que de las combinaciones con repeticion, ya que si las letras fueran ilimitadas y pudieran repetirse, seria un arreglo con repeticion, es decir, para el primer espacio tengo 5 letras, para el segundo las mismas 5, ........ hasta llegar a 5^5.

Agradezco me aclaren mi equivacion en el razonamiento!


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Re: 1er Parcial 2015

de Pablo Romero -
Buenas noches Nicolás,
                                
Ten presente que las combinaciones con repetición de m en n cuentan la cantidad de maneras de elegir n elementos, con posibles repeticiones, dentro de un conjunto de m elementos.

En este caso puede ser conveniente que llames \{H_1,H_2,H_3,H_4,H_5\} a los cinco "huecos" que quedan entre las vocales, o a la izquierda de la primera vocal, o a la derecha de la última vocal.
 
Fijemos un orden cualquiera de los símbolos G,T,LL,T,S. Para cada orden, vamos a meter los primeros x_1 símbolos en el hueco H_1, luego vamos a meter los siguientes x_2 símbolos en el hueco H_2, y así sucesivamente, hasta poner los x_5 símbolos que quedan en el hueco H_5. Tendremos que x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5, puesto que hay en total 5 símbolos y 5 huecos. Notar que las variables x_i pueden asumir valor 0, y contamos entonces a todas las soluciones naturales de esa ecuación, que son las combinaciones con repetición de 5 en 5.

Finalmente, se cuenta la cantidad de ordenamientos posibles de los 5 símbolos G,T,LL,T,S. Como hay dos repetidos, esto da 5!/2!. 

El resultado se sigue de aplicar la regla del producto, puesto que para cada una de las posibles 5!/2! elecciones de un ordenamiento de los 5 símbolos G,T,LL,T,S existe precisamente combinaciones con repetición de 5 en 5 maneras de poner estos símbolos en los 5 huecos comprendidos entre las vocales A, E, I, A.

Contame si ahora se entiende.

Cordiales saludos,
Pablo.
En respuesta a Pablo Romero

Re: 1er Parcial 2015

de Nicolas Grosso San Roman -
Buenas noches Pablo, yo entiendo que al hacer las permutaciones de los 5 simbolos ya estas contando las maneras de poner los simbolos en los 5 huecos (5!/2!), y pienso que ahi deberia terminar el ejercicio. No termino de comprender la necesidad de hacer combinaciones con repeticion para un simple ordenamiento de 5 letras en 5 huecos.
En respuesta a Nicolas Grosso San Roman

Re: 1er Parcial 2015

de Agustin Tornaria Rodriguez -
Hola Nicolas,

La letra nos plantea que las vocales quedan en su orden original, haciendo referencia a que la "A" está antes de la "E", la "E" antes de la "I" y la "I" antes de la otra "A".
No es necesario que queden en su posición original, solo que preserven el orden entre ellas. Es decir que la palabra "AEIAGLLTTS" es valida.

Si fuera necesario que queden en su posición original si quedaría como planteas, alcanza con ordenar las letras G, T, LL, T, S y luego se rellenan los huecos en orden:  H_1AH_2EH_3IH_4AH_5 , poniendo exactamente 1 letra por hueco, es decir solo hay una forma de hacerlo, en el primer hueco la primer letra, en el segundo la segunda, etc. En este caso no estamos contando palabras como las del ejemplo.

Como no es necesario que mantengan la posición original pueden haber huecos con más de una letra y huecos sin ninguna letra. Y por esta razón utilizamos combinaciones con repetición para determinar cuantas letras hay en cada hueco luego de haber determinado el orden. No es que se puedan repetir letras, lo que se pueden repetir son los huecos.


Otra forma de ver el problema es primero fijar las posiciones de las consonantes (o de las vocales) y luego determinar el orden. De esta manera directamente elegiríamos 5 posiciones entre 9 opciones para las consonantes, quedando C(9,5). (en caso de fijar las vocales sería C(9,4)=C(9,5))

Saludos,
Agustín