Foro de Práctico

Buenas noches Juan Ignacio,

Acabo de leer la solución de ese ejercicio. Es demasiado resumida, y quizás por eso te confunda...

La solución dice lo siguiente: $\# \{x_1 + x_2 + x_3 = 20 : x_1, x_2, x_3 \geq 1\} = \#\{x_1 + x_2 + x_3 = 17\} = \binom{19}{2} = 171.$

Voy a proceder dando un desglose más detallado de esa solución, que es demasiado escueta... 

Si llamamos $y_1$, $y_2$ e $y_3$ a la cantidad de vacunas que recibe cada ciudad, entonces sabemos que $y_1+y_2+y_3=60$.

Si los tres centros de Ambar reciben la misma cantidad de paquetes de vacunas, digamos $x_{1}=x_{1}' = x_1''$, entonces $y_1=x_1+x_1'+x_1'' = 3x_1$.
Si los tres centros de Esmeralda reciben la misma cantidad de paquetes de vacunas, digamos $x_{2}=x_{2}'=x_{2}''$, entonces $y_2=x_2+x_2'+x_2'' = 3x_2$.
Un centro de Rubi recibe $x_3$ y el otro $2x_3$ paquetes de vacunas, de modo que $y_3=3x_3$.

Reemplazando, tenemos que $y_1+y_2+y_3 = 3x_1+3x_2+3x_3 = 60$, y tras tomar un factor común de 3 tenemos que nos resta contar la cantidad de soluciones naturales de $x_1+x_2+x_3=20$, sujeto a que $x_1,x_2,x_3 \geq 1$.

El resto de la solución consiste en aplicar cambios de variable (restando una unidad a cada variable), y luego contar haciendo uso de combinaciones con repetición. 

Luego confirmame si este desglose de solución te cierra, y se entiende mejor.

Cordiales saludos,
Pablo.