Ejercicios de Series, libro Calculus Vol. 1 (T. Apostol)

Re: Ejercicios de Series, libro Calculus Vol. 1 (T. Apostol)

de Florencia Uslenghi -
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Buenas!

La primera serie la podés sacar por comparación, viendo que  |\sin(nx)| \leq 1 tenemos que  \frac{|\sin(nx)|}{n^2} \leq \frac{1}{n^2} como sabemos que  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \ \mathbb{C} entonces   \sum_{n=1}^{\infty}  \frac{|\sin(nx)|}{n^2} \  \mathbb{C}

Pasamos a la segunda, cuando tengas dudas de cómo encarar siempre está bueno verificar que los términos que sumas en el infinito se hacen 0, ya que si  \lim_{n \rightarrow \infty} a_n \neq 0 la serie diverge. En este caso:

 \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{ \log{(n)} }{ \sqrt [n] { n+1 } } =  \lim_{n \rightarrow \infty }  (n+1)^{-\frac{1}{n}} \log{(n)}

Reescribiéndolo de esta forma podemos ver que   -\frac{1}{n} \rightarrow 0 por lo que  (n+1)^{-\frac{1}{n}} \rightarrow 1 cuando  n \rightarrow \infty y por otro lado  \log{(n)} \rightarrow \infty por lo que todo el límite anterior tiende a infinito, como es distinto de cero la serie diverge.

Saludos!

Florencia