Foro Práctico 3

Hola. Decir que una sucesión converge a 1 y que tiene límite 1 es lo mismo. No sé si quisiste decir que la sucesión es creciente y está acotada por 1, y por lo tanto tiende a 1. Ojo que eso no necesariamente es cierto, porque si la sucesión es creciente y está acotada sabemos que converge al supremo. Así que, si eso es lo que quisiste decir, te faltaría probar que 1 es efectivamente el supremo de $\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$. Una forma de probar eso es suponer que tenés una cota superior $M < 1$ y ver que eso te lleva a una contradicción.

Respecto a lo otro, el ejercicio no pide probar que 1 es límite usando la definición. Pero es un buen ejercicio hacerlo. En este caso, como sabemos que $\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}< 1$, entonces:

$\displaystyle \left| \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} - 1\right| = 1-\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}= \frac{\sqrt{n^2+1}-n}{\sqrt{n^2+1}}= \frac{\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)}{\sqrt{n^2+1}\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)}=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}(\sqrt{n^2+1}+n)}$

Si queremos que esa cantidad sea menor a $\varepsilon$ a partir de cierto $n_0$, podemos acotarla por algo que sea más fácil de hacer menor que $\varepsilon$. Por ejemplo, como $\sqrt{n^2+1}+n > \sqrt{n^2+1}$, entonces $\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n} < \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$ y por lo tanto:

$\displaystyle \left| \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} - 1\right| = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}(\sqrt{n^2+1}+n)} < \frac{1}{\sqrt{n^2+1}\sqrt{n^2+1}} = \frac{1}{n^2+1}$

Entonces, podemos buscar un $n_0$ tal que $\frac{1}{n^2+1} < \varepsilon$ para $n\geq n_0$ y con ese mismo $n_0$ nos aseguramos que $\left| \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} - 1\right| < \varepsilon$ para $n\geq n_0$.

Saludos