CDIVV-2S: ejerc 3 e | FING

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ejerc 3 e

Hola, tengo una duda con respecto a este limite, por un lado se que sen(1/n) tiende a cero por que 1/n tiende a cero, pero si trato de probarlo me queda que la sucesión esta acotada entre dos suceciones divergentes, cual es el error del razonamiento?. Muchas gracias.

sen(1/x)cos(x)

-1/cos(x)<=sen(1/x)/cos(x)<=1/cos(x)

-1/cos(x)<=sen(1/x)<=1/cos(x)

Re: ejerc 3 e

de Florencia Fernanda Uslenghi Garra - viernes, 26 de agosto de 2022, 13:51

Buenas!

Creo que no entendí del todo la duda, en este caso tenemos el límite:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} cos(n)sen(\frac{1}{n})$

Como comentaste

$\frac{1}{n}$ tiende a cero cuando n tiende a infinito por lo que

$sen(\frac{1}{n})$ tiende a cero, mientras que

$cos(n)$ está acotado, por lo que todo este límite tiende a cero.

Si se quisiera probar por la definición de límite tendríamos que probar que

$\forall \epsilon > 0, \exists n_0, |cos(n)sen(\frac{1}{n}) - 0| < \epsilon$

Por lo tanto analizamos el término:

$|cos(n)sen(\frac{1}{n}) - 0| = |cos(n)sen(\frac{1}{n})| = |cos(n)||sen(\frac{1}{n})| \leq |sen(\frac{1}{n})| < \epsilon$

La primera desigualdad viene de que

$|cos(n)| \leq 1$ y la segunda por asumir que

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} sen(\frac{1}{n}) = 0$

No estoy segura de haber respondido la pregunta, cualquier cosa volvé a escribir!

Saludos :)

Florencia