ejerc 7

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de Federico Lino Indarte Gomez -
Número de respuestas: 1

Hola, no se como  sacar a y b, no entendí claro en las soluciones como intuirlo, lo había pensado sustituyendo en la ecuación diferencial mis derivadas e igualando a cero, pero al tener una ecuación sola no veo como hallar dichos valores. Muchas gracias

En respuesta a Federico Lino Indarte Gomez

Re: ejerc 7

de Florencia Fernanda Uslenghi Garra -

Buenas!

El planteo está bien, lo que hay que hacer para hallar los coeficientes es derivar dos veces la expresión de y(x) y luego colocarlo en la ecuación original. El tema está en la derivada de la expresión, y(x)=e^{2x}cos(x) tenemos dos funciones multiplicándose entonces hay que aplicar la regla del producto (uv)'=(u')v+u(v'), así quedaría entonces:

 y'(x) = 2e^{2x}cos(x) - e^{2x}sen(x) = e^{2x} ( 2cos(x) - sen(x) )

Para la derivada segunda también aplicamos la regla del producto en la expresión de la derecha y nos queda:

 y''(x) = 2 e^{2x} (2cos(x) - sen(x)) + e^{2x} (-2sen(x) - cos(x)) = e^{2x} (3cos(x) - 4sen(x) )

Ahora colocamos estas expresiones en la ecuación diferencial  y'' + ay' + by = 0 :

 e^{2x} (3cos(x) - 4sen(x))  + a e^{2x} ( 2cos(x) - sen(x) ) + b e^{2x}cos(x) = 0

Reagrupamos separando en senos y cosenos que son funciones linealmente independientes:

 e^{2x} ( cos(x)(3+2a+b) - sen(x)(4+a)) = 0

Entonces tenemos que e^{2x} no se anula, por lo que el término de la derecha debe ser nulo \forall x, eso significa que tendremos dos ecuaciones:

3+2a+b=0

4+a=0

De donde sacamos que a=-4 y b=5

Si quedó alguna duda volve a escribir :)

Saludos!

Florencia