Hola, hoy en la clase de consulta se planteo un ejercicio de un examen, pero no recuerdo de que año era. El tema es que no estaba la resolución así que les paso como se podría hacer.
Consistía en encontrar un estimador consistente de \( \lambda \) de una MAS con densidad \(f(x) = \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda x}\). Quien me lo preguntó había aplicado el método de verosimilitud llegando a la respuesta
\(\hat \lambda = \frac{n}{\sum_{i=1}^n |X_i -3|}\), el tema es que no sabía como demostrar la consistencia. En su momento lo que dije que era difícil a partir de esa fórmula, porque confundí (hago mea culpa) consistencia con insesgado, nada que que ver. Para la consistencia debemos demostrar que el estimador tiende a lo estimado, casi seguramente. Para ello usamos la Ley fuerte de los grandes números, usando el que promedio tiende a la esperanza, en el caso de existir la esperanza.
En este caso, bastaría con demostrar que la esperanza de \(|X-3|\) es \(1/\lambda\), porque si \(a_n \to a\) c.s., entonces \(a_n^{-1} \to a^{-1}\) c.s. (resultado visto en el práctico). Para calcular la esperanza de \(|X-3|\), basta calcular la integral \(\int_{-\infty}^{+\infty} |x-3| \frac{\lambda}2 e^{-\lambda |x-3|} dx\), por la fórmula de que \(\mathbb{E} g(X) = \int g(x) f_X(x) dx\). Dicha integral no es complicada de hacer:
\(I = \int_{-\infty}^{+\infty} |x-3| \frac{\lambda}2 e^{-\lambda |x-3|} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} |u| \frac{\lambda}2 e^{-\lambda |u|} du \). haciendo el cambio \( u = x-3\). Luego
\(I = \int_{-\infty}^{0} |u| \frac{\lambda}2 e^{-\lambda |u|} du+\int_{0}^{+\infty} |u| \frac{\lambda}2 e^{-\lambda |u|} du \) Es fácil ver que ambos términos son iguales por lo que
\(I = 2\int_0^{+\infty} u \frac{\lambda}2 e^{-\lambda u} du = \lambda \int_0^{+\infty} u e^{-\lambda u} du \) que se integra por partes:
\(I = \lambda u \frac{e^{-\lambda u} }{-\lambda}|_0^{+\infty}- \int_0^{+\infty} e^{-\lambda u} du = - \frac{e^{-\lambda u} }{-\lambda}|_0^{+\infty} =\frac{1}\lambda \) como se quería demostrar.
Saludos