CDIVV - 1S: Ejercicio 4b

Buenas me surgió una duda a la hora de estudiar la continuidad de la función de este ejercicio.

Quiero ver si f es cont. en los puntos de la forma $(0,y)$ que es donde hay problemas. Mi intención es calcular $lim_{(x,y) \to (0,y)} f(x,y)$ y ver si eso es igual a $f(0,y)$ .

Se puede pensar como un limite de una sola variable dado que la y es "libre" o sea $lim_{x \to 0} \frac{e^{xy}-1}{x}$ ? Esto seria asi con la intencion de usar la equivalencia $e^{xy}-1 \approx xy$ cuando $x \to 0$

Saludos.

Re: Ejercicio 4b

de Geronimo De Leon Ramirez - viernes, 10 de junio de 2022, 17:11

Buenas, Nicolás.

No del todo. Pensar el límite como su fuera de una variable y no tocar a

$y$ en realidad es pensar que

$y$ está fijo, o sea, estarías calculando el límite sólo desde una recta, el límite según la dirección

$(1,0)$ . Necesitás mucho más para encontrar el límite. Acercarte de esa forma que decís te serviría para decir que no es continua si el límite fuese distinto a la función en ese punto, pero no es el caso, así que vas a tener que usar reglas más generales para encontrar el límite.

Lo que sí podés intentar es probar que la equivalencia vale también en

$\mathbb{R}^2$ , o sea, probar en general que

$\frac{e^{xy}-1}{xy}$ tiende a 1 cuando

$(x,y)$ tiende a

$(0,0)$ , y para esto sí podés recurrir (con el debido cuidado) a la equivalencia en una variable.

Saludos.

Re: Ejercicio 4b

de Nicolas Brignoni Dardano - lunes, 13 de junio de 2022, 17:26

Gracias Gerónimo ahí entendí.

Una pregunta, ahora que estamos comenzando con desarrollo de Taylor en varias variables puede usarlo para probar la equivalencia de la que estamos hablando no?
O sea si hago el desarrollo en un punto de la forma $(0, y_{0})$ puedo usarlo para calcular el limite anterior usando también el resto.

La función presenta indeterminación en puntos de la forma $(0, y_{0})$ entonces calcular

$lim_{(x,y) \to (0,y_{0})} \frac{e^{xy}-1}{x}$ es lo mismo que estudiar al siguiente limite

$lim_{(x,y) \to (0,y_{0})} \frac{y_{0}x + \frac{y_{0}^{2}x^{2}}{2} + x(y-yo) + R(x, y-y_{0})}{x}$

que es

$lim_{(x,y) \to (0,y_{0})} y_{0} + \frac{y_{0}^{2}x}{2} + (y-yo)$ que al no presentar ninguna indeterminación, podemos evaluarla y ese es el limite.

$lim_{(x,y) \to (0,y_{0})} \frac{e^{xy}-1}{x} = y_{0}$ que es igual a $f(0,y_{0})$ entonces la función es continua en esos puntos

Mi pregunta ahora es, esto funciona o estoy cayendo en el mismo error de antes?

Ademas en el caso particular donde $y_{0} = 0$ se tiene la equivalencia que creo que mencionabas vos.

$e^{xy}-1$ es equivalente a $xy$ cuando $(x,y) \to (0,0)$

Saludos, Nicolas.

Re: Ejercicio 4b

de Geronimo De Leon Ramirez - jueves, 16 de junio de 2022, 19:56

Sí, está perfecto. Ahora no estás cometiendo ningún error porque el límite lo estás calculando con

$(x,y) \longrightarrow (0,y_0)$ . Lo que fue "gratis" es el límite del resto sobre

$x$ te da cero gracias a Taylor.

Lo único que habría que justificar es que vos acá te estás acercando casi por cualquier lado al punto

$(0,y_0)$ , te estás acercando por puntos que sean de la forma

$x\neq 0$ , pues estás usando la primra parte de la definición de la función en el diferencial. Esto se justifica porque el límite por cualquier curva, si en algún momento la curva se mantiene en el eje

$y$ , está todo bien porque el límite da

$y_0$ , y si se sale infinitas veces, tenés una sucesión de puntos que están siempre en la curva, tienden a

$(0,y_0)$ y siempre tienen coordenada

$x$ distinta de cero.
Pero sí, usando Taylor las equivalencias quedan probadas.