Ejercicio 10

Ejercicio 10

de Nicolas Brignoni Dardano -
Número de respuestas: 2

Buenas, hay algo que no termino de entender de este ejercicio

Cuando nos piden calcular \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^{\alpha}y^{\beta}}{x^{2}+xy+y^{2}}

Lo que hice, luego de unos intentos, fue pasar a coordenadas polares y estudiar \lim_{r \to 0^{+}} g(r,\theta)

Entonces quedo 

\lim_{r \to 0^{+}} \frac{r^{\alpha + \beta}}{r^{2}} \cdot \frac{cos^{\alpha}\theta sen^{\beta}\theta}{cos^{2}\theta + sen^{2}\theta +cos\theta sen\theta}

\lim_{r \to 0^{+}} r^{\alpha + \beta - 2} \cdot \frac{cos^{\alpha}\theta sen^{\beta}\theta}{1 + cos\theta sen\theta}

Luego empece por estudiar la acotación de la función que depende del angulo k(\theta) = \frac{cos^{\alpha}\theta sen^{\beta}\theta}{1 + cos\theta sen\theta}

Se cumple que \frac{1}{2} \cdot 2 cos\theta sen\theta = \frac{sen2\theta}{2} Como  -1 \leq sen2\theta \leq 1 entonces \frac{-1}{2} \leq \frac{sen2\theta}{2} \leq \frac{1}{2} Y por lo tanto \frac{-1}{2} \leq cos\theta sen\theta \leq \frac{1}{2}

Finalmente \frac{1}{2} \leq 1 + cos\theta sen\theta \leq \frac{3}{2} por lo que tenemos acotado el denominador de k(\theta)

 Para acotar cos^{\alpha}\theta sen^{\beta}\theta es que me surgen algunas dudas.

Tomando como ejemplo sen^{\beta}\theta es claro que si \beta < 0 entonces se obtiene algo de la forma \frac{1}{sen\theta} que no es acotado.

La duda en si es si alcanza con pedir que 0 \leq \beta Que pasa con los \beta que cumplen 0 \leq \beta \leq 1 ?

Por ejemplo si \beta = \frac{1}{2} que sucede con sen^{\frac{1}{2}}\theta cuando \theta \in (\pi, 2\pi) \subset [0,2pi) ?

En respuesta a Nicolas Brignoni Dardano

Re: Ejercicio 10

de Nicolas Brignoni Dardano -
Noo! Se me termino el tiempo para editar el mensaje anterior. Bueno la duda es que \sqrt(sen\theta) no esta definida si sen\theta es negativo no?

Algo parecido pasa con cos\theta en el intervalo (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})

No me doy cuenta que pasa en ese caso o si hay algo que no estoy teniendo en cuenta.

Saludos.

Nicolas.
En respuesta a Nicolas Brignoni Dardano

Re: Ejercicio 10

de Usuario eliminado -
Hola Nicolas!

Primero que nada, acordate que no se reduce únicamente a estudiar la acotación de la función que describis: importa que  \alpha + \beta -2 sea mayor que 0, como se describe en la solución.

Teniendo eso en mente, estoy de acuerdo contigo con que el dominio de la función paramétrica que se describe varía en función de  \alpha y  \beta , y se puede hacer el análisis correspondiente de manera sencilla en las coordenadas originales (cartesianas). Pero en cualquier caso, el punto (0,0) siempre pertenece y acumula en el dominio y por lo tanto se puede calcular el límite. Es decir, sin importar las restricciones del dominio siempre vas a poder hacer el análisis de acotación o no acotación, como lo venías haciendo y como lo hace la solución.

Avisame si esto no aclara la duda.

Saludos,
Rodrigo