Consultas del curso

Hola, voy respondiendo por partes:
-- Sobre $F(1/2)$, es como dice Julieta. Da $-3/8$ porque los extremos quedan al revés: $F(1/2)=\int_1^{1/2}f=-\int_{1/2}^1 f= -3/8$.
-- Sobre la continuidad de $F$, es verdad que es una función continua. No me doy cuanta por qué el hecho de que $F(1/2)$ sea $-3/8$ te hace pensar que no queda continua en 1. (En el siguiente punto va a queda más claro cómo es $F$.)
-- Sobre la duda de Gabriel. En este caso, la función $F$ no va a tener una sola formulita como la que planteás. Vamos a resolverlo explícitamente, separando en casos.
Primer caso, me agarro un $x\in[1,3]$. Si pintamos la región correspondiente al área $\int_1^x f$, vemos que esta es la unión de un rectángulo de área $(x-1)$ con un triángulo de área $(x-1)^2/2$. La suma de estas dos áreas da $x^2/2-1/2$. Así que sí, es como decís vos; para $x\in[1,3]$ tenemos $F(x)=x^2/2-1/2$.
El problema es que la fórmula anterior no vale para los números menores que 1. En particular, no vale usarla para calcular $F(1/2)$. Así que nada, entramos al segundo caso, en donde nos agarramos un $x\in[-1,1)$. Lo primero que arreglamos es el tema de que los extremos "quedan al revés". Simplemente escribimos $F(x)=\int_1^x f=-\int_x^1 f$, para  $x\in[-1,1)$. Ahora, si pintamos la región correspondiente al área $\int_x^1 f$, vemos que esta es un rectángulo de área $(3/4)(1-x)$. Entonces obtenemos $F(x)=-(3/4)(1-x)$ para $x\in[-1,1)$.

Conclusión, la $F$ queda definida partida con dos formulitas, dependiendo de si $x\in[-1,1)$ o $x\in[1,3]$. La formulita para el primer intervalo es $(3/4)(x-1)$, y la segunda es $x^2/2-1/2$. (Notar que esta función es creciente y continua en todo punto.)