Ejercicio Parcial

Ejercicio Parcial

de Brenda Abigail Tabarez Muniz -
Número de respuestas: 3

Hola, vi la solución, pero no me quedó clara la resolución del ejercicio 3 de múltiple opción. 

Entiendo que el límite de g(x) cuando x tiende a 0 sea justamente, 0. Y asumo que el límite de f(x) en 0 no existe porque (1/x) tiende a infinito, donde la función seno oscila. Pero si el límite de f(x) en 0 no existe, ¿por qué se sí existe el límite del producto con g(x) y no el de la suma con g(x)?

Multiplicar 0 por lo que sea da 0, pero incluso si ese algo no existe? 


En respuesta a Brenda Abigail Tabarez Muniz

Re: Ejercicio Parcial

de Joaquin Vila David Lima -
Lo que pasa es que ese límite el cual no existe oscila entre [-1 , 1], entonces vas a estar multiplicando por 0 algo que será como máximo 1, de hecho podes "generalizarlo" siempre y cuando el límite exista en este punto (tienda a L real) donde haces el producto de los límites

No es así en el caso de 0 por infinito, que es otro tipo de indeterminación

Lo podes ver por sanguche también ese limite del parcial

En el caso de la suma imagínate que pasaría si a los valores que va tomando la función trigonométrica le sumas los valores que toma la función que si tiende a 0, vas a estar sumando/restando valores muy pequeños a una función que toma como máximo 1 y mínimo -1 infinitas veces antes de llegar a 0
En respuesta a Brenda Abigail Tabarez Muniz

Re: Ejercicio Parcial

de Sofia Llavayol Alvariño -
Como bien decís, el límite de f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right) cuando x\to 0 no existe, y el de g(x)=x es 0.
Que el límite de la suma no existe, viene de lo siguiente. Supongamos que existe L=\lim f(x)+g(x). Entonces \left(\lim f(x)+g(x)\right)-\left(\lim g(x)\right)= L-\left(\lim g(x)\right). Por la regla de la suma, lo anterior implica \left(\lim f(x)+g(x)-g(x)\right)= L-0. Pero entonces \lim f(x)=L, lo cual no puede ser.
Ahora veamos por qué el límite del producto sí existe. Tenemos -1\leq \sin\left(\frac{1}{x}\right)\leq 1. Entonces -x\leq x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\leq x si x > 0 y -x\geq x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\geq x si x < 0. Acá se puede aplicar el Teorema del Sánguche para concluír que \lim x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0. Básicamente, el producto está encerrado entre dos funciones que tienden a 0 cuando x\to 0.
De hecho, esto vale en general: si tenés una función acotada multiplicada por una que tiende a 0, entonces el límite es 0.
Más allá de la prueba, es intuitivo el hecho de que si mutiplicás algo acotado por algo que es cada vez más cero, el producto te quede cada vez más cero. También es intuitivo que si sumás algo que es cada vez más cero con algo que está oscilando, entonces va a seguir oscilando como si lo que sumás no aportase mucho.