Ej 1 examen diciembre 2021

Re: Ej 1 examen diciembre 2021

de Bernardo Marenco -
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Hola. La idea está bien, aunque hay un pequeño detalle: las sucesión asociada a la serie \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} e^{1-n^2} estrictamente no es una subsucesión de la asociada a \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} e^{-n} (aunque se le parece bastante). Fijate que la sucesión de sumas parciales asociada a la primera serie es:

\displaystyle s_k = \sum_{n=0}^{k} e^{1-n^2} = 1+\frac{1}{e} + \frac{1}{e^3} + \frac{1}{e^8} + \dots + \frac{1}{e^{k^2-1}}

mientras que la de la segunda serie es

\displaystyle s'_k = \sum_{n=0}^{k} e^{-n} = 1+\frac{1}{e}  +\frac{1}{e^2}+ \frac{1}{e^3} + \frac{1}{e^4} + \dots + \frac{1}{e^{k}}

Entonces en s_k aparecen algunos sumandos de s_k', por lo que s_k \leq s_k' como s_k' converge, por comparación s_k converge. Aunque lo parece, en realidad s_k no es una subsucesión de s_k' porque en cada término de s_k' aparecen sumadas todas las potencias de 1/e^n, mientras que en los de s_k eso no sucede (por ejemplo, el término 1/e^2 nunca aparece).

Saludos