Foro de Ejercicios fuera de los Prácticos

Hola. Fijate que decir que $x \in [-1,2]$ y que $y \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ es decir que $x$ e $y$ se mueven en un rectángulo, cuando según tu dibujo la intersección del plano $z=x+2$ con el cono $x^2+y^2=z$ (mirado en las coordenadas $x,y$, olvidándote de la dimensión $z$) se parece más bien a una circunferencia. Para verlo analíticamente, podés igualar las expresiones $z=x+2$ y $x^2+y^2=z$ (para obtener cómo se mueven los puntos de la intersección de esos dos conjuntos en el plano $xy$). Así, tenés que:

$x+2 = x^2+y^2 \Leftrightarrow (x- 1/2)^2 + y^2 = 9/4$

Así que los puntos que están en la intersección de esos conjuntos se mueven en el plano $xy$ en la circunferencia de centro $(1/2,0)$ y radio $3/2$. La coordenada $z$ va a variar entre la parábola $x^2+y^2$ y el plano $x+2$. Para calcular el volumen vas a tener que hacer un cambio de variables a cilíndricas pero teniendo en cuenta que la circunferencia en el plano $xy$ no está centrada en el origen, es decir, el cambio va a ser $x = 1/2 +  \rho \cos \theta$, $y = \rho \sin \theta$. Con ese cambio de variable deberías poder calcular el volumen del sólido.

Saludos