Foro de Ejercicios fuera de los Prácticos

Hola. El plano tangente está definido para un punto del gráfico de la función, es decir, es un plano que vive en $\mathbb{R}^3$. Si yo quiero calcular el plano tangente al gráfico de la función en un punto de coordenadas $(x_0,y_0)$, voy a buscar la ecuación de un plano que pase por el punto de $\mathbb{R}^3$ de coordenadas $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$. Entonces, al pedirnos el plano tangente en $(\pi/2,\pi/2,1)$ lo que nos están diciendo es que $f(\pi/2,\pi/2)=1$ (cosa que ya sabemos por la ecuación que define a la función).

Por otro lado, la ecuación del plano tangente es $z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$. Para la función en particular de este ejercicio se cumple que $f_x(\pi/2,\pi/2)=f_y(\pi/2,\pi/2)=0$, entonces la ecuación queda solo $z=f(\pi/2,\pi/2)=1$. Pero eso es cierto solo porque las derivadas parciales se anulan en el punto. Eso no tiene por qué ser cierto para una función $f$ cualquiera (de hecho, si fuese cierto siempre los planos tangentes siempre serían paralelos al plano $xy$). Creo que lo que confunde es que en la letra de la prueba dice $z=1$. Supongo que hay un error ahí, la letra debería decir $z=$ (y que cada uno completara el lado derecho de la igualdad con la ecuación que correspondiera).

Saludos