CDIVV-2S: Ejercicio 7

Buenas, estudiando las derivadas direccionales en $(0,0)$ me queda que solo existen si la dirección es $(0, \lambda )$ pero en la solu dice que existen para cualquier dirección.

Mi razonamiento es el siguiente:
Si $v_1 \neq 0$ ,
$\frac{\partial f}{\partial v} (0,0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(hv_1, hv_2) -f(0,0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h^2(v_1^2+v_2^2)sin(\frac{1}{hv_1}) +e^{h^2v_1v_2} - 1}{h}$

Y $\lim_{h \rightarrow 0} h(v_1^2+v_2^2)sin(\frac{1}{hv_1})$ no existe para ningún $(v_1, v_2)$
Y $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{h^2v_1v_2} -1}{h}$ existe sólo si $v2=0$
Entonces si $v_1 \neq 0$ , no existen las derivadas direccionales.

Luego, si $v_1 = 0$ ,

$\frac{\partial f}{\partial v} (0,0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0,hv_2)-f(0,0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0 } \frac {1-1}{h} =0$

Entonces, entiendo que cuando $v_1 \neq 0$ no existen las derivadas direccionales $\forall v_2$
Y cuando $v_1 = 0$ , existen $\forall v_2$ y valen 0.

Re: Ejercicio 7

de Favio Piran - domingo, 24 de octubre de 2021, 15:37

Acordate que en el límite que calculás la única variable es

$h$ . Se tiene que

$\lim_{h\to 0} h(v_1^2+v_2^2)sin(\frac{1}{hv_1}) = 0$ pues

$h$ tiende a 0,

$v_1^2 + v_2^2$ es una constante y seno está acotado.

En el otro límite podés usar que

$e^u - 1$ es equivalente a

$u$ cuando

$u\to 0$ . Por lo que

$\lim_{h\to 0} \frac{e^{h^2v_1v_2 } -1}{h}$ es igual a

$\lim_{h\to 0 } \frac{h^2v_1v_2}{h} = 0$

Re: Ejercicio 7

de Thiago Caetano Acuña Vinoles - domingo, 24 de octubre de 2021, 16:19

Ahhh pensé que

$xsin(\frac {1}{x})$ oscilaba infinitas veces en 0 de -1 a 1, pero es

$sin(\frac {1}{x})$ la que oscila así.

Y el otro límite lo pensé mal.

Gracias!!

Re: Ejercicio 7

de Thiago Caetano Acuña Vinoles - lunes, 25 de octubre de 2021, 10:53

Buenas! Vuelvo a tener problemas con este ejercicio:

Cuando intento hallar $\frac{\partial f}{\partial v} (1,0)$ me da que no existe el límite.

$\frac{\partial f}{\partial v} (1,0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+hv_1, hv_2) -f(1,0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{((1+hv_1)^2+(hv_2)^2)sin(\frac{1}{1+hv_1}) +e^{(1+hv_1)(hv_2)} - (sin(1)+1)}{h}$

Desarrollando y agrupando términos: $\frac{\partial f}{\partial v} (1,0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(h^2v_1^2+h^2v_2^2+2hv_2+1)sin(\frac{1}{1+hv_1})}{h} + \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{h^2v_1v_2+hv_2}-1}{h}-\lim_{h \rightarrow 0} \frac{sin(1)}{h}$

Los dos primeros límites convergen pero el tercero no.

Gracias!

Re: Ejercicio 7

de Bernardo Marenco - lunes, 25 de octubre de 2021, 14:15

Hola. Fijate que cuando $h \to 0$ , en el numerador del primer término te queda $\sin(1)$ , así que eso tiende a un infinito "parecido" al del tercer término. Hay que tener cuidado al separar los límites como sumas o restas de cosas, porque el límite de cada cosa puede no existir por separado pero el de la suma o resta sí. Tal vez el ejemplo más directo de que eso puede llevar a problemas es escribir

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x}\right) = 0$

Ese límite es 0 porque lo que está adentro del límite es constante 0, pero si separo cada término se va a $\infty$ .

Acá lo que podés hacer es quedarte con lo de menor grado en $h$ en lo que multiplica al seno y a la exponencial, ya que $h\to 0$ . Así llegás a algo como:

$\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{(1+2hv_1)\sin\left( \frac{1}{1+hv_1} \right) + e^{hv_2}-\sin(1)-1}{h} =$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0} \frac{(1+2hv_1)\sin\left( \frac{1}{1+hv_1} \right) - \sin(1)}{h} + \frac{e^{hv_2}-1}{h}$

Acá separé las cosas en sumandos que tienen límite: fijate que usando que $e^u-1 \sim u$ , el de la derecha tiende a $v_2$ . Para el de la izquierda podemos usar L'Hopital: