Ejercicio 4, a)

Ejercicio 4, a)

de Matias Agustin Gonzalez Ribeiro -
Número de respuestas: 6
Hola, buenas. Tengo una duda respecto a las soluciones dadas a este ejercicio. Ya que cuando hago la derivada direccional en (0,0) el limite me da \frac{v_1 \times v_2}{\sqrt{v_1^{2} + v_2^{2}}}, y en la solución dice que las únicas derivadas direccionales que existen son según (λ, 0) o (0, λ). Lo que no estaría entendiendo es por qué no existiría la derivada según (1,1) por ejemplo, basándome en el limite que me dio.

Muchas gracias.
En respuesta a Matias Agustin Gonzalez Ribeiro

Re: Ejercicio 4, a)

de Veronica Rumbo -
Hola Matías, efectivamente hay un error en la solución. Se pueden hallar las otras derivadas direccionales del modo que planteaste.
En respuesta a Veronica Rumbo

Re: Ejercicio 4, a)

de Agustin Felipe Bilat Damasco -

Buenas, me quedaron algunas dudas de este práctico y de este ejercicio en particular.

Entonces, para esta parte a),  es correcto decir que existen las derivadas direccionales en el punto (0,0) para todas las direcciones de v= (v1,v2) con v1 y v2 reales?


Lo otro que no entiendo de la parte b) del mismo ejercicio, es porque en la solución dice que existen las derivadas direccionales para cualquier dirección.

Yo lo que plantee fue el limite en un punto generico del plano x=0, osea en (0,y0), para cualquier direccion v:

lim \frac {f(hv1, y_{0} + hv2) - f(0, y_{0})}{h} con h tendiendo a cero.

eso me dio como resultado lim \frac{-y_{0}}{h} con h tendiendo a cero, que no existe porque yo es una constante.

Fuera de ese plano si existe las derivadas, pero no entiendo porque en este plano existen, si estoy haciendo mal algún cálculo o razonando mal.

Saludos.
En respuesta a Agustin Felipe Bilat Damasco

Re: Ejercicio 4, a)

de Agustin Felipe Bilat Damasco -
Una correccion del b), en verdad para el punto (0,y0) y en la direccion v=(0,lambda) con lambda real, si me da que existe la derivada parcial (me da igual a lambda, osea a la segunda coordenada del vector v)....
Pero sigo sin entender porque dicen que para cualquier punto del plano x=0 existe la der. parcial en cualquier direccion ya que en los otros casos donde v1 distinto de 0, el limite da lo que puse en el msj anterior.
En respuesta a Agustin Felipe Bilat Damasco

Re: Ejercicio 4, a)

de Veronica Rumbo -
Hola Agustín. Con respecto a la parte a), sí, es correcto decir que existen todas las derivadas direccionales en (0,0).

Respecto a b), fijate que para las direcciones que no son puramente verticales la derivada direccional en (0, y_0) resulta

\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(hv_1, y_0 + hv_2) - f(0,y_0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{e^{hv_1( y_0 + hv_2)} -1 -hv_1y_0}{h^2v_1}.


Que puede resolverse, por ejemplo, usando la regla L'hopital.

Omití algunas cuentas intermedias pero si algo no queda claro la seguimos.
Saludos
En respuesta a Matias Agustin Gonzalez Ribeiro

Re: Ejercicio 4, a)

de Victor Nicolas Fernandez Silva -
Hola, ayer cuando hicimos el ejercicio nos queda la expresión que dijo en su momento Matias, pero multiplicado por h/|h| lo que genera que el limite por -h sea distinto, y por este motivo la solución que figura (que las únicas derivadas direccionales que existen son según (λ, 0) o (0, λ)) estaría correcta.
Yo tenía la idea que h era como un "diferencial" (incremental) que multiplica el vector, pero que era positivo. Pero en Spivack explicando las derivadas de una variable estudia el caso de h y -h para una función que es el modulo de x. Por lo que entiendo que para este caso no existen las otras derivadas direccionales.
En respuesta a Victor Nicolas Fernandez Silva

Re: Ejercicio 4, a)

de Favio Piran -
Hola

El h es un real que tiende a 0, puede ser positivo o negativo. Como bien dijiste nos queda un \frac{h}{|h|} cuyo límite no existe en h=0 (tiene límites laterales 1 y -1).
Así que, a mi entender, estaría bien la solución