Ejercicio 4)e

Ejercicio 4)e

de Thiago Caetano Acuña Vinoles -
Número de respuestas: 2
Buenas! Tengo un problema con este ejercicio, llego a que existen todas las derivadas direccionales en todos los puntos pero no es lo que dice en la solu.
Agradezco me puedan ayudar a ver dónde está mi error.

Mi razonamiento es el siguiente:
f es continua en todo  R^2 .
Estudiemos el caso donde  y \geq 1 . Sea  v=(v_1, v_2) un vector genérico.
\frac{\partial f}{\partial v} (x,y) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+hv_1, y+hv_2) -f(x,y)}{h}
Luego, \frac{\partial f}{\partial v} (x,y) = lim_{h \rightarrow 0 } \frac{(x+hv_1)^3-x^3}{h} = lim_{h \rightarrow 0 } \frac{3x^2hv_1+3xh^2v_1^2+h^3v_1^3}{h} = 3x^2v_1 .
En este caso, entiendo que este límite existe para todo  (x,y) \in R^2 y para todo vector  v=(v_1, v_2) .

Por otro lado, si  y < 1 tenemos:  \frac{\partial f}{\partial v} (x,y) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+hv_1)^3(y+hv_2)^2-x^3y^2}{h}
Desarrollando todo esto, dividiendo entre h y sacando los términos que conservan h (ya que h tiende a 0) nos queda  \frac{\partial f}{\partial v} (x,y) = 3x^2y^2v_1 +2x^3yv_2
Donde también entiendo que existe para todo punto y para todo vector.
En respuesta a Thiago Caetano Acuña Vinoles

Re: Ejercicio 4)e

de Favio Piran -
Hola

Vamos a suponer que estamos parados en (x,1) y queremos calcular derivada direccional según (v_1,v_2) donde suponemos v_2 \geq 0. Entonces, \frac{\partial f}{\partial (v_1,v_2)}(x,1) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+hv_1,1+hv_2) - f(x,1)}{h} pero fijate que cuando vas a sustituir la expresión f(x+hv_1,1+hv_2) depende del signo de h (si h positiva la segunda entrada es mayor que 1, y si es negativa la segunda entrada es menor que 1). Es decir, los límites laterales tienen expresiones distintas y el límite existe si los límites laterales coinciden.

Por esto se concluye que cuando estoy parado en (x,1) esos límites laterales coinciden cuando x=0 o cuando x\neq 0 y v_2 = 0.