Foro Práctico 8

Hola Joel. En la región abierta del plano donde $y\neq 0$ la función es un cociente de cosas que son diferenciables y en esa región el denominador no se anula, por lo que van a existir todas las derivadas direccionales en esos puntos.

Si estudiás la continuidad sobre la recta $y=0$ vas a ver que la función no es continua ahí: en los puntos con de la forma $(x_0,0)$ con $x_0\neq 0$ alcanza con mirar los límites direccionales en una dirección que no sea $y=0$; para el $(0,0)$ podés estudiar qué pasa cuando te movés sobre la curva $y=x^3$. Así que en esos puntos no puede ser diferenciable (ya que no es continua). Pero eso no nos dice nada sobre las derivadas direccionales, que igual podrían existir.

Si fijás un punto en esa recta, digamos $(x_0,0)$, entonces la derivada direccional según una dirección $v=(v_1,v_2)$ queda:

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v} (x_0,0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+hv_1,hv_2)}{h}$

Si $v_2=0$ (lo que se corresponde con la dirección $(v_1,0)$ o $(\lambda,0)$ como lo pone la solución) entonces $f(x_0+hv_1,hv_2) = f(x_0+hv_1,0)=0$, por lo que la derivada en esa dirección existe y da 0. Si $v_2\neq 0$ entonces $\displaystyle f(x_0+hv_1,hv_2) = \frac{(x_0+hv_1)^3}{hv_2}$, así que la derivada direccional queda:

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v} (x_0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{(x_0+hv_1)^3}{h^2v_2} = \lim_{h \to 0} \frac{x_0^3}{h^2v_2}$

Cuando $x_0 \neq 0$ ese último límite tiende a $\infty$, por lo que no existen las derivadas direccionales en ese caso. Si $x_0 = 0$ (es decir, el punto en el que estoy mirando las derivadas direccionales es el $(0,0)$), ese límite es 0, por lo que ese es el único punto de la recta $y=0$ en el que existen todas las derivadas direccionales.

Saludos