Foro Práctico 8

Hola Agustín. Entiendo que estás preguntando por qué en el ejercicio 7, para hallar las derivadas parciales en $(0,0)$, no podés simplemente derivar respecto a $x$ la fórmula $\displaystyle (x^2+y^2)\sin\frac{1}{x} + e^{xy}$ y luego hacer $(x,y)$ tender a $(0,0)$. El problema con eso es que estás asumiendo que la función "derivada parcial según $x$" es continua en $(0,0)$, cosa que no sabés si es cierta (porque de hecho no sabés ni siquiera si existe en (0,0)). Digo que estás usando que es continua porque fijate el procedimiento que querés seguir:

1. Derivando respecto a $x$ la fórmula $\displaystyle (x^2+y^2)\sin\frac{1}{x} + e^{xy}$, hallás la función  $f_x(x,y)$ para aquellos puntos donde $x\neq 0$.
2. Tomás límite de esa función cuando $(x,y) \to (0,0)$ y decís que eso es $f_x(0,0)$. Fijate que lo que estás diciendo es que $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} f_x(x,y)$ tiene que ser igual a  $f_x(0,0)$, es decir, que $f_x$ es continua en $(0,0)$ (cosa que nada te asegura que sea cierto, y de hecho en este ejercicio no lo es).