Foro Práctico 7

Claro, eso mismo, no vale el recíproco. Está bien lo que decís.
Si cambiamos a polares y haciendo tender r a 0 y nos da que existe el límite, no necesariamente tiene que existir el límite de f (de contraejemplo tenemos el ejercicio 4c iii) ). Capaz lo que hay que preguntarse es ¿qué límite estamos tomando? Cuando cambiamos a polares y estudiamos qué pasa en el origen fijate que solo hacemos tender r a 0. ¿Y el ángulo? Por eso digo que lo fino es que el cambio de coordenadas no es un cambio de coordenadas en el punto (0,0).
Por ejemplo, si en lugar de estudiar lo que pasa en el punto (0,0) queremos ver lo que pasa en el punto (1,0) = (cos(0),sen(0)), entonces es equivalente estudiar $\lim_{(x,y)\to (1,0)} f(x,y)$ que estudiar $\lim_{(r,\theta)\to (1,0)} f(rcos(\theta),rsen(\theta)$ porque la función cambio de coordenadas $\varphi(r,\theta) = (rcos(\theta),rsen(\theta))$ definida en $(0,\infty)\times [0,2\pi)$ sí es una biyección cuando $r>0$ y el ángulo varía $2\pi$. O dicho de otra forma, al punto (1,0) le corresponde solo el par radio-ángulo $r=1$, $\theta=0$. Acá sí podemos hacer cambio de coordenada y límite tranquilos, pero en el (0,0) es distinto, pues todos los puntos $r=0$ y $\theta$ cualquiera corresponden al origen.