Buenas Agustina,
![y'=(m+\sin^2(x))y y'=(m+\sin^2(x))y](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/30920a5d3a225cda591e05670966be29.png)
![\dfrac{y'}{y}=m+\sin^2(x) \dfrac{y'}{y}=m+\sin^2(x)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/5384ff5b47e7396768f7c4bba7e236f6.png)
Integramos a ambos lados:
![\displaystyle \ln(y)=mx+\int \sin^2(x)dx \displaystyle \ln(y)=mx+\int \sin^2(x)dx](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/4fd023aad7c16f3d13c8ed9689f90f96.png)
Trabajemos con la integral:
![\displaystyle \int \sin^2(x)dx = \int \sin(x)\sin(x)dx = -\cos(x)\sin(x) + \int \cos^2(x)=-\cos(x)\sin(x)+\int (1-\sin^2(x))dx \displaystyle \int \sin^2(x)dx = \int \sin(x)\sin(x)dx = -\cos(x)\sin(x) + \int \cos^2(x)=-\cos(x)\sin(x)+\int (1-\sin^2(x))dx](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/2701fadeddf89c2ea8dd17f4bead2e24.png)
Despejando la integral buscada nos queda![-\dfrac{\cos(x)\sin(x)}{2}+\dfrac{x}{2} -\dfrac{\cos(x)\sin(x)}{2}+\dfrac{x}{2}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/ea4ef6fd640fb82228c2b1b2b4b96469.png)
Entonces nos quedo:
![\ln(y)=mx-\dfrac{\cos(x)\sin(x)}{2}+\dfrac{x}{2}+C \ln(y)=mx-\dfrac{\cos(x)\sin(x)}{2}+\dfrac{x}{2}+C](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/ecf03d6abd69b9f21fc36ebdfbc72cb4.png)
![y=k\cdot\exp\left(mx-\dfrac{\cos(x)\sin(x)}{2}+\dfrac{x}{2}\right) y=k\cdot\exp\left(mx-\dfrac{\cos(x)\sin(x)}{2}+\dfrac{x}{2}\right)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/6fada1c110842aedefa2809e8cee466a.png)
Ahora es donde entra en juego la solución que cumple![\rho(\pi+x)=\rho(x) \rho(\pi+x)=\rho(x)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/1344126a3e58cd2af2e155dc6afb1203.png)
Como
y ![\cos(x+\pi)=-\cos(x) \cos(x+\pi)=-\cos(x)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/0073eff0c6a64299ce3289ebd617cb1a.png)
Tenemos que
.
De acá concluimos que lo que nos molesta en nuestra solución es el
que lo podemos quitar haciendo ![m=-\dfrac{1}{2} m=-\dfrac{1}{2}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/d94f337967f15ecb7c030ce2af73a183.png)
Espero haberme explicado.
Saludos,
Franco.
![y'=(m+\sin^2(x))y y'=(m+\sin^2(x))y](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/30920a5d3a225cda591e05670966be29.png)
![\dfrac{y'}{y}=m+\sin^2(x) \dfrac{y'}{y}=m+\sin^2(x)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/5384ff5b47e7396768f7c4bba7e236f6.png)
Integramos a ambos lados:
![\displaystyle \ln(y)=mx+\int \sin^2(x)dx \displaystyle \ln(y)=mx+\int \sin^2(x)dx](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/4fd023aad7c16f3d13c8ed9689f90f96.png)
Trabajemos con la integral:
![\displaystyle \int \sin^2(x)dx = \int \sin(x)\sin(x)dx = -\cos(x)\sin(x) + \int \cos^2(x)=-\cos(x)\sin(x)+\int (1-\sin^2(x))dx \displaystyle \int \sin^2(x)dx = \int \sin(x)\sin(x)dx = -\cos(x)\sin(x) + \int \cos^2(x)=-\cos(x)\sin(x)+\int (1-\sin^2(x))dx](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/2701fadeddf89c2ea8dd17f4bead2e24.png)
Despejando la integral buscada nos queda
![-\dfrac{\cos(x)\sin(x)}{2}+\dfrac{x}{2} -\dfrac{\cos(x)\sin(x)}{2}+\dfrac{x}{2}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/ea4ef6fd640fb82228c2b1b2b4b96469.png)
Entonces nos quedo:
![\ln(y)=mx-\dfrac{\cos(x)\sin(x)}{2}+\dfrac{x}{2}+C \ln(y)=mx-\dfrac{\cos(x)\sin(x)}{2}+\dfrac{x}{2}+C](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/ecf03d6abd69b9f21fc36ebdfbc72cb4.png)
![y=k\cdot\exp\left(mx-\dfrac{\cos(x)\sin(x)}{2}+\dfrac{x}{2}\right) y=k\cdot\exp\left(mx-\dfrac{\cos(x)\sin(x)}{2}+\dfrac{x}{2}\right)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/6fada1c110842aedefa2809e8cee466a.png)
Ahora es donde entra en juego la solución que cumple
![\rho(\pi+x)=\rho(x) \rho(\pi+x)=\rho(x)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/1344126a3e58cd2af2e155dc6afb1203.png)
Como
![\sin(x+\pi)=-\sin(x) \sin(x+\pi)=-\sin(x)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/b3880bc9decf116430fb652c1ccd1416.png)
![\cos(x+\pi)=-\cos(x) \cos(x+\pi)=-\cos(x)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/0073eff0c6a64299ce3289ebd617cb1a.png)
Tenemos que
![\cos(x+\pi)\sin(x+\pi)=\cos(x)\sin(x) \cos(x+\pi)\sin(x+\pi)=\cos(x)\sin(x)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/0cb356627a1afff1a732c8117dc36b4a.png)
De acá concluimos que lo que nos molesta en nuestra solución es el
![\dfrac{x}{2} \dfrac{x}{2}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/561684f3123bb0099b73bb62972a0629.png)
![m=-\dfrac{1}{2} m=-\dfrac{1}{2}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/d94f337967f15ecb7c030ce2af73a183.png)
Espero haberme explicado.
Saludos,
Franco.