Foro de Ejercicios fuera de los Prácticos

Buenas Agustina,

$y'=(m+\sin^2(x))y$

$\dfrac{y'}{y}=m+\sin^2(x)$

Integramos a ambos lados:

$\displaystyle \ln(y)=mx+\int \sin^2(x)dx$

Trabajemos con la integral:

$\displaystyle \int \sin^2(x)dx = \int \sin(x)\sin(x)dx = -\cos(x)\sin(x) + \int \cos^2(x)=-\cos(x)\sin(x)+\int (1-\sin^2(x))dx$

Despejando la integral buscada nos queda $-\dfrac{\cos(x)\sin(x)}{2}+\dfrac{x}{2}$

Entonces nos quedo:

$\ln(y)=mx-\dfrac{\cos(x)\sin(x)}{2}+\dfrac{x}{2}+C$

$y=k\cdot\exp\left(mx-\dfrac{\cos(x)\sin(x)}{2}+\dfrac{x}{2}\right)$

Ahora es donde entra en juego la solución que cumple $\rho(\pi+x)=\rho(x)$

Como $\sin(x+\pi)=-\sin(x)$ y $\cos(x+\pi)=-\cos(x)$
Tenemos que $\cos(x+\pi)\sin(x+\pi)=\cos(x)\sin(x)$.

De acá concluimos que lo que nos molesta en nuestra solución es el $\dfrac{x}{2}$ que lo podemos quitar haciendo $m=-\dfrac{1}{2}$

Espero haberme explicado.

Saludos,
Franco.