Cuestionario E.Diferenciales

Cuestionario E.Diferenciales

de Agustina Behrens Lorenzi -
Número de respuestas: 1

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Quería consultar como hacer este ejercicio. Yo lo tome como una ecuación de variables separables e integré y llegue a que: 

y(x)= e^ ((2m^2+ 2x-sen2x)/4). k

No se cómo proseguir y usar el dato de que p(x)= p(pi+x), si me pudieran ayudar desde aca a conseguir m les agradecería!


En respuesta a Agustina Behrens Lorenzi

Re: Cuestionario E.Diferenciales

de Franco Mateo Vienni Baptista -
Buenas Agustina,

y'=(m+\sin^2(x))y

\dfrac{y'}{y}=m+\sin^2(x)

Integramos a ambos lados:

\displaystyle \ln(y)=mx+\int \sin^2(x)dx

Trabajemos con la integral:

\displaystyle \int \sin^2(x)dx = \int \sin(x)\sin(x)dx = -\cos(x)\sin(x) + \int \cos^2(x)=-\cos(x)\sin(x)+\int (1-\sin^2(x))dx

Despejando la integral buscada nos queda -\dfrac{\cos(x)\sin(x)}{2}+\dfrac{x}{2}

Entonces nos quedo:

\ln(y)=mx-\dfrac{\cos(x)\sin(x)}{2}+\dfrac{x}{2}+C

y=k\cdot\exp\left(mx-\dfrac{\cos(x)\sin(x)}{2}+\dfrac{x}{2}\right)

Ahora es donde entra en juego la solución que cumple \rho(\pi+x)=\rho(x)

Como \sin(x+\pi)=-\sin(x) y \cos(x+\pi)=-\cos(x)
Tenemos que \cos(x+\pi)\sin(x+\pi)=\cos(x)\sin(x).

De acá concluimos que lo que nos molesta en nuestra solución es el \dfrac{x}{2} que lo podemos quitar haciendo m=-\dfrac{1}{2}

Espero haberme explicado.

Saludos,
Franco.