F1 - 1S: Ejercicio 6 - Práctico 11

Buenas! Tengo un par de preguntas medio teóricas que me surgieron mientras hacía el ejercicio.

1) En la parte (c) logré calcular correctamente ambas energías cinéticas y llegué a que la energía cinética de la parte (b) es mayor a la de la parte (a), pero no logro darme cuenta por qué pasa esto, ¿por qué, por ejemplo, no se conserva la energía? ¿Hay alguna fuerza no conservativa que sea culpable de esto o cuál sería la razón?

2) No entiendo la observación que se hace aquí, eso de que la cantidad de movimiento total del sistema, vista de un referencial en reposo, es nula en todo momento. Por más que veas al sistema desde un referencial en reposo el sistema puede tener velocidad, y por lo tanto cantidad de movimiento lineal. No comprendo porque la cantidad de movimiento total sería nula. ¿A qué le llama cantidad de movimiento total?

3) En la parte (d), la velocidad angular w con la que rotan los patinadores luego de unirse por la barra, ¿es respecto al centro de masa o respecto a otro punto fijo en un sistema inercial? Porque estoy calculando los momentos angulares respecto al centro de masa (que tiene determinada velocidad), pero para calcular cada momento lineal p uso las respectivas velocidades, estas velocidades ¿son vistas desde un sistema inercial o desde el centro de masa que está en movimiento? ¿Habría que tener en cuanta algún movimiento relativo o algo de eso?

4) En la parte (e), al momento de calcular el momento angular luego de que los patinadores se unieron por la barra utilicé la ecuación $L_{CM} = I_{CM, TOTAL}.w$ . Mi consulta es, tenía entendido que esta forma de calcular el momento angular era únicamente para cuerpos rígidos simétricos que rotan alrededor del eje de simetría, pero este cuerpo no es simétrico, porque una de las masas es más grande que la otra, entonces no entiendo por qué se puede utilizar.

Disculpen lo largo, si bien llegué en general a los resultados, hay varias cositas que me dejaron medio confundida. Muchas gracias. Saludos!

Re: Ejercicio 6 - Práctico 11

de Juan Young - lunes, 21 de junio de 2021, 15:14

Hola Paula! Cómo va? Te voy respondiendo de a una:

1) Los patinadores consumen parte de su energía interna para cambiar el momento angular, y por lo tanto le están inyectando energía al sistema. Así que ¿Por qué no se conserva la energía? Pues por la comida.

2) Fijate que en el momento inicial, en

$x$ hay un

$p$ hacia la derecha y un

$p$ igual hacia la izquierda, por lo tanto

$p_{x-total}=0$ . Mientras que en el otro eje hay

$p=0$ . Como no hay fuerzas externas, el

$p_{total}$ es igual a cero todo el tiempo.

3) Por las características del sistema la rotación va a ser respecto al centro de masa. Si los patinadores tuvieras distintas masas o distintas velocidades el movimiento se vuelve bastante más complejo. Además fijate que tu pregunta en general no tiene mucho sentido, ya que una vez se "chocan" el centro de masa se queda quieto.

4) Opa, bien ahí usando Latex. Ejhem, a la pregunta: Primero que nada, el cuerpo si es simétrico ¿Qué te hace pensar que no? Segundo, esa fórmula sirve para cuerpos asimétricos, la única condición era que para adicionar momentos de inercia entre sí, todos tenían que rotar respecto al mismo eje. Esto no quiere decir que haya simetría en la distribución de masas, si se quiere hay una especie de simetría en la rotación, pero yo no lo diría de esa manera.

Espero haber sido claro. Sino sentite libre de seguir preguntando, o lo vemos el Miércoles hacia el final de la clase.

Re: Ejercicio 6 - Práctico 11

de Maria Paula Alvarez Ezeiza - miércoles, 23 de junio de 2021, 21:39

Hola! Gracias por las respuestas! Voy a ir comentando con respecto a cada punto lo que entendí y lo que no me quedó muy claro:

1) Esto no lo entendí jaja, calcule la energia cinética en la parte (a) es decir cuando los patinadores, luego del choque, quedan girando con una distancia entre ellos igual al largo de la barra (d1 = 2,29m) y me dio

$K_a = m.v^2$ , y luego calcule la energía cinética de la parte (b) que es cuando los patinadores, luego del choque, quedan girando con una distancia entre ellos menor que el largo de la barra (quedan a una distancia d2 = 0,940m), porque ellos tiran de la barra para acercarse, y me dio

$K_b = (m.d_1^2.v^2)/d_2^2$ . Pude ver que el momento angular del sistema (desde el CM del mismo) en la parte (a) es mayor que en la parte (b) (por que los patinadores están más lejos), y la velocidad angular con la que rotan luego del choque en la parte (a) (w = 0,945rad/s) es menorque la de la parte (b) (w' = 9,12rad/s).

O sea, es como que al estar más cerca disminuye el momento angular pero aumenta la velocidad angular. Sin embargo, la energía cinética en ambas situaciones (cuando luego de chocar estan a 2,29m y cuando estan a 0,940m) es distinta, la de la parte (b) es mayor que la de la parte (a) y no logro ver por qué. Pense que tal vez tendría que ver con que la fuerza esa que hacen al tirar de la barra para acercarse hace algun tipo de trabajo, pero no tengo idea de como es esta fuerza, si es conservativa o no, etc. y además es una fuerza interna al sistema, entonces me confunde un poco.

2) Ahí va, ahí entendí, me había entreverado, esto es algo que pasa particularmente en la parte (a) y (b) porque en ambos casos P antes del choque es 0 y no hay fuerzas externas en ningún momento, entonces P del sistema en todo momento es 0. (Porque la fuerza que hacen al tirar de la barra es interna no?). Mientras que en las partes (d) y (e), si bien aquí también se conserva P, el P antes del choque no es 0 (por lo tanto en ningun momento lo es). ¿ Entonces cuando se habla de la "cantidad de momento total del sistema" es simplemente la cantidad de movimiento lineal del sistema? ¿No tiene nada que ver el momento angular del mismo?

3) En el parte (d) lo que pasa es que ahora los patinadores antes del choque tienen la misma masa pero vienen con velocidades distintas, luego de que choquen los patinadores van a rotar alrededor del cento de masa del sistema pero además este centro de masa se va a desplazar, particularmente luego del choque la velocidad del centro de masa será

$\frac {v_J - v_R}{2} i$ . Mi tema es que al momento de calcular los momentos angulares lo hago respecto a este centro de masa, y el resultado de estos momentos depende de las velocidades con que venian los patinadores, luego igualo estos momentos y así despejo la velocidad angular con la que rotarán luego del choque, esta velocidad angular por lo tanto, dependerá de las velocidades lineales con las que venían los patinadores. Entonces, yo calculé los L respecto del CM, entonces al calcularlos, ¿debería utilizar las velocidades respecto al CM, o respecto a un punto fijo? Porque las velocidades

$v_J$ y

$v_R$ son respecto a un referencial inercial, y yo estoy calculando L respecto al CM que se está moviendo. ¿No debería hacer movimiento relativo ahí? ¿La velocidad angular desde que referencial está entonces, el CM o un punto fijo?

4) Gracias jaja. Tenía entendido del teórico que la fórmula

$L_{CM} = I_{CM, TOTAL}.w$ no se puede utilizar para cualquier cuerpo o para cualquier sistema, que esto no vale de manera genérica (incluso mostramos algún ejemplo de un sistema donde esto no se cumplía), como que vimos que esto vale únicamente para cuerpos que tengan simetría de revolución respecto al eje de giro. ¿No es así?

Y respecto a si este sistema tiene simetría, no sé, yo no lo veo simétrico jajja, tipo es una barra que tiene una masa chica de un lado y una grande del otro, entonces no termino de ver bien si tiene simetría de revolución o no. Supongo que si porque lo supuse, use la fórmula y llegue al resultado jsja, pero si hago otro ejercicio ¿qué puedo hacer?, ¿simplemente supongo que todo será simétrico y hago todo así nomás o cómo puedo darme cuenta si puedo usar la fórmula o no?

Perdón por atomizar a preguntas otra vez. Gracias!

Re: Ejercicio 6 - Práctico 11

de Carla Yelpo - viernes, 25 de junio de 2021, 00:27

Hola, Paula

Primero que nada, quería comentar que estás haciendo preguntas muy interesantes, que dan cuenta que estás pensando a fondo los ejercicios. Así que, ¡seguí así!

Voy respondiendo una a una.

1) Lo que sucede cuando los patinadores se acercan al tirar cada uno de la barra, es que están convirtiendo parte de su energía interna en energía mecánica del sistema y de esa forma logran moverse. Dicho de otra manera, los patinadores están entregándole energía mecánica al sistema, y por eso no se conserva la energía mecánica en este caso.

De todas maneras, mencionaste al pasar que el momento angular es menor en la parte (b) que en la parte (a). ¿Cómo fue que resolviste entonces la parte b?

2) Sí, las dos observaciones que se hacen en la letra del ejercicio se refieren a la cantidad de movimiento lineal, es decir, el P.

3) Esa es una excelente pregunta. Para responderla, permitime introducir una ecuación. Llamemos $\vec{L}_o$ al momento angular calculado respecto al origen O de un sistema fijo. Y llamemos $\vec{L'}$ al momento angular calculado respecto al centro de masas (esto es, tanto las posiciones como las velocidades escritas relativas al centro de masas). Se puede demostrar que estos momentos angulares verifican la siguiente ecuación:

$\vec{L}_o = \vec{L'} + \vec{r}_{cm} \times M_{tot} \vec{v}_{cm}$

Donde $\vec{r}_{cm}$ y $\vec{v}_{cm}$ son la posición y la velocidad del centro de masas respecto a O respectivamente, y $M_{tot}$ la masa total del sistema. Ahora, fijate que podemos elegir los dos instantes que queremos comparar de forma tal que de una a otra "foto" el centro de masa no se desplazó. Dicho de otra manera, podemos elegir comparar el instante inmediatamente antes de que los patinadores se agarren y el instante inmediatamente después que lo hagan.

Elijamos un origen fijo, pero que coincida con la posición del centro de masa en esas dos fotos. Lo que termina resultando, por la ecuación anterior, es que tanto $\vec{L}_o$ como $\vec{L'}$ van a dar lo mismo (porque en este caso estamos eligiendo que $\vec{r}_{cm}=0$ ). Te invito a que pruebes calcular $\vec{L}_o$ y $\vec{L'}$ en esta situación y te convenzas de que es así.

En conclusión: incluso en las partes (d) y (e) no hace falta aplicar movimiento relativo y transformar todas las velocidades. Alcanza con ingeniárnoslas y elegir un origen fijo pero que coincida con la posición del centro de masas en los dos instantes que estamos comparando.

4) Lo que decís es correcto: la fórmula $\vec{L} = I_o \vec{\omega}$ (donde $\vec{L}$ es el momento angular total calculado respecto a cualquier punto posicionado sobre el eje de rotación, $I_o$ el momento de inercia respecto al eje de rotación, y $\vec{\omega}$ la velocidad angular) no es válida en general. Lo que probablemente vieron en el teórico es que esta ecuación sólo es válida si el cuerpo es simétrico alrededor del eje de rotación.

De todas maneras, lo que sí es válido en general (aunque el cuerpo no sea simétrico) es la siguiente ecuación:

$L_z = I_o \omega$

Donde $L_z$ es la componente del momento angular según la dirección del eje de rotación. Es decir, no el momento angular total, sino sólo una de sus componentes. (Esto probablemente lo mencionaron también en el teórico, pero si no quedó claro lo podés releer en la sección 13-3 del Resnick.)

Lo que sucede en el caso tan particular de este ejercicio es que: (1) el cuerpo está contenido en un plano, y (2) estás eligiendo como origen para calcular el momento angular un punto contenido en ese mismo plano. Bajo estas dos condiciones, el momento angular sólo tendrá componente en z (¿te das cuenta por qué?) y por lo tanto la componente $L_z$ coincidirá con el momento angular total.

En conclusión: en este caso súper particular (cuerpo asimétrico, pero plano y donde el punto respecto al cual estamos calculando el momento angular está contenido en ese mismo plano) también se cumple la ecuación $\vec{L} = I_o \vec{\omega}$ .

Estas últimas dos observaciones quizás fueron un poco pesadas, con mucha información. Así que si algo no se entendió, volvé a preguntar tranquila.

¡Saludos!

Re: Ejercicio 6 - Práctico 11

de Maria Paula Alvarez Ezeiza - miércoles, 30 de junio de 2021, 21:11

Hola! Muchas gracias Carla! Me quedó todo un poco más claro, donde me quedaron un par de dudas fue en los puntos 1) y 3):

1) Ahí entendí un poquito más eso de la energía, gracias! En cuanto a lo de cómo resolví la parte (b) adjunto foto, llegué al resultado pero tal vez esté algo mal no sé. Lo de que el momento angular en la parte (b) es menor que en la parte (a) lo ví al hacer la parte (c) (en la misma foto que adjunto también está la parte (c)), pero ahora que lo volví a vichar no estoy tan segura de que sea menor.

3) Ahí va y en este caso podemos hacer todo eso porque nos pide calcular la velocidad angular en el instante luego de que los patinadores están unidos por la barra?
Entonces esta velocidad angular que calculamos es respecto a un punto fijo que casualmente coincide con la posicion del centro de masa en este insante en particular y por lo tanto está bien que quede determinada por las velocidades lineales de los patinadores que eran respecto a un punto fijo. ¿Está bien esto o entendí cualquiera? ¿Y si pidieran la velocidad angular en algún momento posterior a esto ahí si habría que tener en cuenta el tema del referencial con las velocidades y eso?

El resto creo que lo entendí re bien. ¡Gracias!

¡Saludos!

Re: Ejercicio 6 - Práctico 11

de Carla Yelpo - martes, 6 de julio de 2021, 22:06

Hola, Paula

Sobre el punto (1), ahora que veo tu planteo creo que quizás estás diciendo "momento angular" cuando querés decir "momento de inercia", ¿puede ser? Efectivamente, para resolver el problema planteaste que el momento angular se conserva, y por lo tanto vale lo mismo en los instantes A, B y C que señalás en tu dibujo.

Si cambiamos "momento angular" por "momento de inercia" en tu planteo anterior ahora sí tiene sentido: cuando los patinadores se acercan, disminuye su momento de inercia y por lo tanto comenzarán a girar más rápido (con mayor velocidad angular) para que se conserve el momento angular. Este efecto es muy parecido al primer ejemplo que aparece en el video de demostrativas de momento angular (si no lo viste, te lo recomiendo :) ).

Sobre el punto (3), fijate que este planteo también nos sirve si quisiéramos determinar el movimiento en algún instante posterior. Alcanza con analizar primero lo que pasa inmediatamente antes e inmediatamente después de que los patinadores se unan (como hicimos ahora) y después analizar lo que pasa en el intervalo desde que los patinadores se unen hasta ese hipotético instante posterior.

En este segundo intervalo, no hay fuerzas ni torques externos. Tampoco suponemos que los patinadores se están acercando, como en la parte (c), donde ahí cambiaban su momento de inercia. Por lo tanto no hay nada que provoque un cambio en el movimiento. De forma que los patinadores seguirán moviéndose con la misma velocidad del centro de masas y rotando con la misma velocidad angular. ¿Se entiende la idea? Entonces, el movimiento que obtuvimos para el instante inmediatamente después de que se unan, vale para cualquier instante después de eso.

Fijate si esto ayuda a aclarar esos puntos. Cualquier cosa, volvé a preguntar.

¡Saludos!