Hola, Iván. Creo que estás interpretando la letra en términos de otros ejercicios similares que conoces, pero en este caso el planteo tiene que ser diferente.
En este sistema, el parámetro es la posición inicial del centro de masa (la barra parte del reposo). Según el valor de la posición inicial la barra puede (i) permanecer en reposo o (ii) adquirir una aceleración. En ambos casos, en el instante inicial hay deslizamiento entre la barra y el cilindro. En el caso (ii), como la barra tiene aceleración, existe un instante en el cual su velocidad es tal que coincide con la velocidad del punto de contacto del cilindro (instantáneamente no hay deslizamiento). Luego de ese momento, como la aceleración de la barra no se anula, su velocidad cambia y por lo tanto vuelve a deslizar (la velocidad angular del cilindro es constante). Como la fuerza neta cambia abruptamente, ahí sí habría que dividir la solución en intervalos, pero posiblemente unos cuantos...
Sobre la otra pregunta, depende de como definas "pararte" :-) Primeramente, elije un sistema de referencia inercial lo más simple que puedas. Si acaso estás pensando en usar algún sistema relativo para el problema, no es lo más conveniente, porque al hacer eso pueden aparecer términos adicionales en la segunda cardinal que no nos van a ayudar.
Para elegir el punto con respecto al cual aplicar la segunda cardinal, hay muchas opciones posibles, pero deberían resultar equivalentes. Revisa, por favor, el ejercicio 5.5, donde se comparan las ecuaciones cardinales usando diferentes orígenes.
Saludos,
NC