Foro de Ejercicios fuera de los Prácticos

Hola!

Se tiene que el plano que se nos pide hallar es paralelo a $3x+8y-5z=10$, por lo tanto tiene la forma

$3x+8y-5z=d$,

donde $d$ es una constante a determinar.

También sabemos que el plano en cuestión es tangente al gráfico de la función $f(x,y)=x^2+y^2$ en algun punto $(a,b)$ a determinar.

Tenemos que  $f_x(a,b)=2a$ $f_y(a,b)=2b$, por lo tanto el plano tangente al gráfico de $f$ en $(a,b)$ es dado por:

$z-a^2-b^2=2a(x-a)+2b(y-b)$, simplificando queda $2ax+2by-z=a^2+b^2$ y multiplicando por 5 a  ambos lados de la iguladad obtenemos:

$10ax+10by-5z=5(a^2+b^2)$.

Usando las dos igualdades obtenemos

$10a=3$ entonces $a=\dfrac{3}{10}$ y $10b=8$ entonces $b=\dfrac{8}{10}$ lo que implica  $5(a^2+b^2)=5\dfrac{9+64}{100}=\dfrac{73}{20}$. 

Por lo tanto el plano tangente es:

$3x+8y-5z=\dfrac{73}{20}$,