Método de estudio de la diferenciabilidad de una función en un punto

Método de estudio de la diferenciabilidad de una función en un punto

de Lucia Viñas Farriols -
Número de respuestas: 3

Buen día, en ejercicios donde piden estudiar la continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de una función, primero suelo estudiar la continuidad y las derivadas parciales. Luego calculo las derivadas direccionales y si existen, planteo el producto interno entre el gradiente y un vector para ver si me da igual a las derivadas direccionales. Si se me cumple esa ecuación concluyo que es diferenciable en ese punto. Quisiera saber si este método que no lo vi en ningún lado y que hasta ahora me dio resultado lo considerarían correcto si lo hago en la parte de desarrollo del parcial. 

En las clases los profesores aplican la definición de diferenciabilidad y calculan un límite (que todavía no termino de entender y les agradecería si me lo explicaran un poco) para saber si es diferenciable. Les mando fotos del problema 1 de desarrollo del segundo parcial primer semestre 2019 porque no entendí la resolución de la parte 2 que es sobre el tema que estoy consultando.

¿Existen otras formas para concluir si es diferenciable o no?

Muchas gracias y saludos,

Lucía Viñas

Adjunto diferenciabilidad 1.png
Adjunto diferenciabilidad 2.png
En respuesta a Lucia Viñas Farriols

Re: Método de estudio de la diferenciabilidad de una función en un punto

de Lucia Viñas Farriols -

Pregunté ¿Existen otras formas para concluir si es diferenciable o no? ya que descartar la diferenciabilidad es fácil pero para probar que es diferenciable aparte de la condición suficiente de diferenciabilidad o aplicar la definición no recuerdo otro método que nos hayan dicho y me interesaría saber si hay otros. Saludos

En respuesta a Lucia Viñas Farriols

Re: Método de estudio de la diferenciabilidad de una función en un punto

de Veronica Rumbo -
Hola Lucía. En la parte 2 está aplicando la definición de diferenciabilidad para los puntos de la forma y = x, que es la frontera entre las dos regiones de la función. El límite que no terminas de entender se desprende de la definición ya que la función es diferenciable en a si

lim_{v \rightarrow a} \frac{f(v) - f(a) - f_x(a)(x-a) f_y(a) (y-a) }{||v-a||} = 0
(por comodidad lo escribí para \mathbb{R}^2 pero creo que es clara la generalización)

Lo que está diciendo esto en palabras es que f admite un (único) plano (o hiperplano en dimensiones más altas) tangente por (a, f(a))

Típicamente las formas de determinar si una función es diferenciable en un punto son:

  • Ver si es suma/producto/composición de diferenciables. Con eso en este ejercicio tenemos resuelta la diferenciabilidad en toda la región y \neq x, por ser puntos interiores de las regiones en cuestión.
  • Usar condición suficiente de diferenciablidad: Si tenés calculadas las derivadas parciales en general, podés ver si se cumple dicho teorema. Para este ejercicio justo creo que no le sacamos mucho jugo a la condición
  • La definición. En general la usamos para puntos o regiones específicas y no para un punto a genérico, porque no es muy cómodo hacerlo. En el ejercicio que planteas, la usamos para la región y =x donde la estrategia 1 no funciona.
Espero haber ordenado un poco las ideas con esto. Saludos