Foro Práctico 10

Hola,

El tema de utilizar cilíndricas así es que el dominio no queda lindo escrito en termino de estas nuevas variables.

Respecto al concepto de integrales triples y dobles.

• En cálculo 1 la integral de una función de una variable da el valor del área que se encuentra "debajo" de la gráfica de la función.
• En cálculo 2 tenemos más integrales. Si tenemos $f:D \subset R^2 \to \mathbb{R}$ entonces la integral doble de dicha función da el volumen debajo de la gráfica, sobre el dominio $D$. Entonces esto es una forma de calcular volúmenes. Al igual que en calculo 1, si se tiene dos funciones $f_1$ y $f_2$, la integral doble de la resta de estas funciones da el volumen entre las gráficas (con el signo correcto). 
• Ahora también en calculo 2 tenemos otras formas de calcular áreas y volúmenes. Dado un conjunto $D$ en $\mathbb{R}^2$ entonces la integral doble de la función f(x,y) = 1 para todo x,y, sobre el dominio D es igual al área de dicho conjunto. 
• De la misma forma si tenemos un conjunto $D$ en $\mathbb{R}^3$ entonces la integral triple de la función f(x,y,z) = 1 para todo x,y,z sobre el dominio D es igual al volumen de dicho conjuntos

Volviendo al ejercicio, en el mismo se pide calcular un volumen. Para esto podemos aplicar en general el punto 4), y a veces el punto 2). Digo a veces el punto 2) porque para aplicar el método 2 necesitamos que el conjunto al cual queremos calcular el volumen se corresponda con el volumen por debajo de la gráfica de una función de dos variables, o comprendida entre la grafica de dos funciones de dos variables. En este caso podemos ver que al conjunto al cual queremos calcular el volumen lo podemos expresar como los puntos del espacio que se encuentran por debajo de la función $f(x,y) = 4 -x^2 -y^2$ y por encima de $g(x,y) = x^2$. Por eso integramos la resta de las funciones. Alternativamente podíamos haber hecho el enfoque de la integral triple, que quedaría así

$\underset{\{(x,y): 2x^2 +y^2 \leq 4\}}{\iint}\left( \int_{x^2}^{4-x^2-y^2}\ 1\ dz\right) dxdy$ (ya hice parte del Fubini)

ya que las variables $(x,y)$ se mueven en esa elipse (como vimos en clase) ,y para cada $(x,y)$ en esa elipse la variable $z$ se mueve entre $z = x^2$ y $z = 4-x^2-y^2$. Si realizas la primera integral queda

$\underset{\{(x,y):2x^2 +y^2 \leq 4\}}{\iint} 4-2x^2-y^2\ dxdy$

que es justamente la integral doble de la resta de las funciones!! lo cual muestra que los dos métodos coinciden.

Para seguir resolviendo la integral habría que hacer un cambio de coordenadas a polares adaptadas a una elipse... o sea que no funciona bien simplemente polares. Pero si haces $x = 0.5 \rho \cos \theta$ $y = \rho \sin \theta$ entonces vas a poder escribir el dominio bien e integrar sin problemas (intentalo).

La idea es esa. Coméntame si respondí tu pregunta, sino iteramos!

Saludos