Hola Daniel. No entendí bien qué hiciste al final. Igual quiero hacer un comentario respecto a tu mensaje original, en especial respecto a la pregunta
"Como podemos integrar de forma prodente sin ver el dominio en forma de dibujo? Sobre todo pregunto pensando en la ausencia de geogebera y derivados en periodos de evaluacion"
Mi primer respuesta a eso es que en este tipo de ejercicios es muy importante lograr algo parecido a una visualización del conjunto. Y especialmente en una etapa inicial ayudarse de herramientas como geogebra me parece una excelente idea. Las figuras que pusiste en el mensaje son muy oportunas.
Entiendo, sin embargo, la preocupación: ¿Qué hago en un parcial, donde tengo sólo hojas y un lápiz? Graficar esos conjuntos tridimensionales es a veces difícil pero tenés los conjuntos de nivel. la figura que pusiste "vista de arriba" podés obtenerla así y ese estudio te permite hacerte una idea gráfica del conjunto "por rebanadas" digamos.
En el caso del ejercicio si tomás los subconjuntos de la forma 
se desprenden tres casos distintos que están en la imágen que adjunto y que te dan la pista de que es conveniente separar las regiones 
y 
. También te ayudan, en cada uno de esos casos, a definir bien las regiones de integración en las dos variables restantes.
Saludos