Ejercicio 7

Ejercicio 7

de Ignacio Federico Alesina Acuña -
Número de respuestas: 5

Buenas, en este ejercicio nos pide hallar la diferenciabilidad en ciertos puntos. Con la condición suficiente de diferenciabilidad, sabemos que f es diferenciable en un pto si las derivadas parciales existen en una bola con centro en ese punto y ademas ambas derivadas parciales son continuas en ese punto.

En este ejercicio, las derivadas parciales quedan:

∂f/∂x(x, y) = 2x sen(1/x) − ((x^2 + y^2 )cos(1/x))/x^2 + ye^xy 

∂f/∂y(x, y) = 2y sen(1/x) + xe^xy.

∂f/∂v(0,y)=0

Por lo tanto en cualquier punto que tenga x=0 o x ->0 las derivadas parciales no serían continuas en ese punto o se irían a infinito.

Mi duda va a que en la solución de este ejercicio en el práctico del semestre pasado dice lo siguiente: Como las derivadas parciales son continuas en la región x /= 0, necesariamente f es diferenciable en esta región. Y termina diciendo que f es diferenciable en el punto (0,0). Pero ∂f/∂v(0,y)=0 y ∂f/∂x(0,0) = 2x sen(1/x) − ((x^2 + y^2 )cos(1/x))/x^2 + ye^xy = ((x^2 + y^2 )cos(1/x))/x^2=acotado*(x^2 + y^2 )/x^2. Y haciendo polares queda: 1/cos(tita)^2. Por lo tanto depende de tita, entonces no se cumple que sea igual a 0. Por lo tanto la derivada no me queda continua en (0,0) -> f no seria diferenciable en (0,0).

Me gustaría saber si la solución del semestre pasado esta mal o si tengo algún error de concepto. Muchas gracias

En respuesta a Ignacio Federico Alesina Acuña

Re: Ejercicio 7

de Valentina Chagas Bas -

Hola estoy haciendo el mismo ejercicio y me parece que cuando vas a hacer las derivadas parciales para puntos con x=0 tenes que usar la parte de la función que correspone a x=0 o sea 1 y creo que no guarda relación la existencia en x=/0 con las derivadas parciales en x=0 por lo que no entiendo por que haces el limite.

Capaz que te sirve pero la verdad no se mas que vos.

edit: ahora que lo pienso con esa logica en x=0 las derivadas parciales darian 0 y son continuas porque es la constante 0 por lo que seria diferenciable en (0,1) pero no lo es porque no existen todas las derivadas direccionales. Asi que me sumo a la duda. Ah pero ni es continua en (0,1). 

En respuesta a Valentina Chagas Bas

Re: Ejercicio 7

de Veronica Rumbo -

Hola a ambos. En el ejercicio les pide estudiar continuidad y diferenciabilidad en tres puntos. La discusión en cada caso me parece que viene bien encaminada. Básicamente tienen:

  • En (1,0) la función es suma/producto/composición de funciones diferenciables (y contínuas) por lo que es diferenciable (y contínua)
  • En (0,1) el límite no existe al acercarnos a ese punto por lo que la función no es contínua (y en consecuencia, tampoco es diferenciable.
  • El caso interesante es (0,0). Es relativamente fácil probar que la función allí es contínua. Pero para estudiar la diferenciabilidad tenemos que las derivadas parciales existen pero no son contínuas en (0,0) (nota para Valentina: para hallar la derivada parcial respecto a x tengo que considerar puntos que pertenecen a la región x \neq 0. Recomiendo hallarla usando la definición para entender bien por qué).
Sin embargo esto no nos permite afirmar nada aún sobre la continuidad en (0,0). Tenemos entonces que estudiar la diferenciabilidad a partir de la definición, es decir estudiar el límite

\lim_{(v_1,v_2) \rightarrow (0,0)} \frac{|f(v_1, v_2) - f(0,0) - f_x(0,0)v_1 - f_y(0,0) v_2 |}{||(v_1, v_2)||}

Si dicho límite es 0 (lo es), la función será diferenciable.
Notar que f_x(0,0)v_1 + f_y(0,0) v_2 es una forma más explícita de decir "el diferencial evaluado en (v_1, v_2)", y eso es lo que estoy restando al final del numerador. Una forma de interpretar esa definición es "La diferencia f(v_1, v_2) - f(0,0) se parece mucho a una transformación lineal", en el sentido de que existe un plano tangente a la gráfica.
En respuesta a Veronica Rumbo

Re: Ejercicio 7

de Valentina Chagas Bas -

Hola! Respecto a la nota, cuando decís que los tengo que considerar.

Lo que digo es que si hago la derivada parcial respecto a x en (0,0) importa como es la derivada parcial en otros puntos a la hora de ver si existe o no? Incluso si da distinto en aquellos con x-->0 como dijo el compa;ero? Si la hago con la definición me da 0. Tal vez el consejo es hacerla para un punto genérico (x0,y0)? Y ahí si tengo que considerar casos.

No termino de entender eso. 

Con respecto a la continuidad de la derivada, es así como dijo el compa;ero? es decir, agarro la derivada en x=0 y en x=/0 y hago tender la función al (0,0) y me tendría que dar la derivada en x=0? Y la consecuencia es que ahí ya no puedo usar la condición suficiente.

Muchas gracias!!

En respuesta a Valentina Chagas Bas

Re: Ejercicio 7

de Veronica Rumbo -

Me parece que estás confundiendo la existencia de la derivada parcial (en un punto) con la continuidad de la derivada parcial como función.

En este ejercicio, para hallar la derivada parcial en (0,0) respecto a x no te importa como sea dicha derivada parcial en otros lugares. Lo que importa es que se verifique la definición.

Cuando plantees la definición de derivada parcial en (0,0) notarás que los puntos cuya imagen calculás están siempre en la recta (x,0), es decir que el comportamiento de la función fuera de dicha recta no afecta el cálculo de la derivada f_x(0,0).