ej 4.c)

ej 4.c)

de Facundo Campal Caputti -
Número de respuestas: 4

Hola, haciendo estos ejercicios me surgió una duda en cuanto a determinar la continuidad.

Para todos estos ejercicios seguí la misma idea, en particular para el 4.c) lo que hice fue tomar limy→0 f(x0,y) y ver que pare que sea continua el lim tiene que ser igual a f(x0,0)=0. Para el calculo de este limite lo traté como un limite de una sola variable.

Observé que en gral el limite da divergente, aunque en el caso x0=0 el resultado es 0, por lo que la función sería continua en el (0,0) pero no en los demas puntos de la forma (x,0). No se si es correcto lo que hice o deberia haber hecho algo distinto.

Saludos.  

En respuesta a Facundo Campal Caputti

Re: ej 4.c)

de Veronica Rumbo -

Hola Facundo. Tené cuidado porque tu estrategia equivale a acercarse al punto (x_0, y_0) por una recta horizontal. Esto te permite refutar la existencia el límite en caso de que no exista justo al tomar límite en esa recta.

Pero si te pasa como en  (0,0), que el límite sí existe, eso no basta. Para que el límite en (0,0) exista tendría que existir al acercarnos a ese punto por cualquier curva que pase por él (y ser siempre el mismo). Algo no muy práctico para probar la existencia de la función pero sí para negarla. En este caso el límite en (0,0) no existe. Fijate, por ejemplo, que pasa si te acercas al origen por la curva y = x^3.

En respuesta a Veronica Rumbo

Re: ej 4.c)

de Facundo Campal Caputti -

Claro, en este caso al no existir el limite la función no puede ser continua, cierto?

Como tendría que encarar un ejercicio de estos para ver de primera que sí existe el limite?


En respuesta a Facundo Campal Caputti

Re: ej 4.c)

de Veronica Rumbo -

En caso de que el límite exista (y haya alguna indeterminación que resolver, ya que en caso contrario es inmediato), no hay una forma única y universal de hallarlo, pero algunas estrategias que pueden ser de utilidad son:

  • Argumentos de la forma "cosa acotada" por "cosa que tiende a cero" (en tal caso el límite es cero)
  • Argumentos de órdenes, o equivalentes (en 4b por ejemplo tenemos que e^{xy}-1 \sim xy cuando xy \rightarrow 0).
  • Polinomios de Taylor (aunque este práctico esta pensado para no usarlos, en el próximo ya aparecen y dan una nueva herramienta para levantar indeterminaciones).
  • La definición, que no es muy cómoda pero a veces rinde.
Esto no pretende ser una lista exhaustiva. Son las posibilidades que se me vienen a la mente ahora.

Saludos